Арифметические свойства непрерывности

Воспользуемся определением непрерывности функции в точке (П-ссылка), а также арифметическими свойствами пределов:

$$\underset{x\to x_0}{\lim }\left[f(x)\pm g(x)\right]=\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)\pm \underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=f(x_0)\pm g(x_0)$$

$$\underset{x\to x_0}{\lim }\left[f(x)\cdot g(x)\right]=\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)\cdot \underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=f(x_0)\cdot g(x_0)$$

Так как функция $g(x)$ непрерывна в $x_0$ и $g(x_0)\ne 0$, то существует такая проколотая окрестность $\mathring{X}$ точки $x_0$, что для любого $x$ из этой окрестности значение $g(x)$ будет одного знака с $g(x_0)$ (П-ссылка), а так как $g(x_0)\ne 0$, то и для любого $x$ из $\mathring{X}$ значения $g(x)$ тоже не равны $0$.

Это означает, что у нас есть окрестность $X$ точки $x_0$, в каждой точке которой (в том числе и в $x_0$) определена функция $\frac{1}{g(x)}$, причем из арифметических свойств пределов получаем, что

$$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{1}{g(x)}=\frac{1}{g(x_0)}$$

Теперь мы можем доказать непрерывность отношения $f(x)$ к $g(x)$:

$$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)\cdot \frac{1}{g(x)}=\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)\cdot \underset{x\to x_0}{\lim }\frac{1}{g(x)}=\frac{f(x_0)}{g(x_0)}$$

$■$