Свойства функций с конечным пределом

Распишем по определению данный в условии факт, что $f(x)\to b$ при $x\to a$:

$$\forall \epsilon >0\exists \mathring{U}(a):\left(\forall x\in \mathring{U}(a)\Rightarrow |f(x)-b|<\epsilon \right)$$

Нам нужно доказать, что существует какая-то окрестность, в которой $f(x)$ ограничена. Докажем от противного.

Пусть такой окрестности не существует, то есть в любой окрестности точки $a$ функция является неограниченной. Раз неограничена в любой, то неограничена и в окрестности $\mathring{U}(a)$, которую мы получили для $\epsilon$ из определения предела функции:

$$\forall M>0\exists x^{\prime }\in \mathring{U}(a):|f(x^{\prime })|>M$$

Возьмем тогда следующее $M$:

$$M=\epsilon +|b|$$

Для этого $M$ существует такой $x^{\prime }\in \mathring{U}(a)$, что выполняется

$$\begin{gathered} |f(x^{\prime })|>\epsilon +|b| \\ |f(x^{\prime })|-|b|>\epsilon \end{gathered}$$

Воспользуемся неравенством треугольника для модулей (см. прото-задачу П-ссылка):

$$|f(x^{\prime })-b|\ge |f(x^{\prime })|-|b|>\epsilon$$

$$|f(x^{\prime })-b|>\epsilon$$

Но ведь $x^{\prime }\in \mathring{U}(a)$, а значит для него, по определению предела функции в точке, должно выполняться неравенство:

$$|f(x^{\prime })-b|<\epsilon$$

Получили противоречие. Это означает, что наше предположение о неограниченности функции в любой окрестности $a$ было неверным. Получается, что все же существует какая-то окрестность $a$, в которой функция ограничена.

$■$