Непрерывность сложной показательной функции

Равенство

Пусть нам дана функция вида $u(x{)}^{v(x)}$. Пользуясь свойствами логарифмов, запишем ее в экспоненциальном виде, то есть представим в виде показателя степени с основанием $e$, а затем вынесем $v(x)$ из-под натурального логарфима:

$$u(x{)}^{v(x)}=e^{\ln \left[u(x{)}^{v(x)}\right]}=e^{v(x)\cdot \ln u(x)}$$

$■$

Непрерывность

Пусть функции $u(x)$ и $g(x)$ непрерывны в $x_0$.

По теореме о непрерывности сложной функции, сложная функция $\ln u(x)$, состоящая из непрерывного натурального логарифма $\ln x$ и непрерывной $u(x)$ тоже непрерывна в $x_0$.

По арифметическим свойствам непрерывности произведение $v(x)\cdot \ln u(x)$ двух непрерывных функций $v(x)$ и $\ln u(x)$ есть функция, непрерывная в $x_0$.

Наконец, вновь по теореме о непрерывности сложной функции, сложная функция $e^{v(x)\cdot \ln u(x)}$, состоящая из непрерывной показательной функции $e^x$ и непрерывной $v(x)\cdot \ln u(x)$ тоже непрерывна $x_0$.

Итак, мы доказали, что функция $e^{v(x)\cdot \ln u(x)}$ непрерывна в $x_0$. Но по доказанному выше равенству эта функция есть не что иное, как $u(x{)}^{v(x)}$. Значит, функция $u(x{)}^{v(x)}$ непрерывна в $x_0$.

$■$