Пункт а)

Найдем пределы основания и показателя:

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1+x}{2+x}=\frac{1+0}{2+0}=\frac{1}{2}$$

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\sqrt{x}}{1-x}=\frac{1-0}{1-0}=1$$

Значит, по прото-задаче П-ссылка:

$$\underset{x\to 0}{\lim }{\left(\frac{1+x}{2+x}\right)}^{(1-\sqrt{x})/(1-x)}={\left(\frac{1}{2}\right)}^1=\frac{1}{2}$$

Пункт б)

Найдем предел основания:

$$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{1+x}{2+x}=\frac{1+1}{2+1}=\frac{2}{3}$$

Предел показателя найдем, избавившись от иррациональности в числителе с помощью формулы разности квадратов:

$$\begin{gathered} \underset{x\to 1}{\lim }\frac{1-\sqrt{x}}{1-x}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{1-x}{(1-x)(1+\sqrt{x})}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{1}{1+\sqrt{x}}= \\ =\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2} \end{gathered}$$

Значит, по прото-задаче П-ссылка:

$$\underset{x\to 1}{\lim }{\left(\frac{1+x}{2+x}\right)}^{(1-\sqrt{x})/(1-x)}=\sqrt{\frac{2}{3}}$$

Пункт в)

Найдем предел основания, пользуясь связью б.м. и б.б. функций (П-ссылка).

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1+x}{2+x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x}{x}\cdot \frac{\frac{1}{x}+1}{\frac{2}{x}+1}=\frac{0+1}{0+1}=1$$

Найдем предел показателя, пользуясь все той же прото-задачей, а также результом из пункта б):

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1-\sqrt{x}}{1-x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{1+\sqrt{x}}=\left|\begin{array}{c}\frac{1}{1+\infty }\\ \frac{1}{\infty }\end{array}\right|=0$$

Значит, по прото-задаче П-ссылка:

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }{\left(\frac{1+x}{2+x}\right)}^{(1-\sqrt{x})/(1-x)}=1^0=1$$