Непрерывность функции в точке

Функцию $f (x)$ называют непрерывной в точке $x_{0}$ , если она имеет конечный предел в этой точке, который совпадает со значением самой функции в этой точке:

$x \to x_{0} lim f (x) = f (x_{0})$

Проверка на непрерывность

Для проверки на непрерывность можно так же использовать предел приращений переменной:

$Δ x \to 0 lim f (x_{0} + Δ x) = f (x_{0})$

Доказательство

Докажем, что для проверки на непрерывность можно использовать предел приращений. Для этого в исходном пределе воспользуемся теоремой о пределе сложной функции (П-ссылка) и произведем переменных:

$x \to x_{0} lim f (x) = = ∣ ∣ Δ x = x - x_{0} x \to x_{0} lim Δ x = x \to x_{0} lim x - x_{0} = x_{0} - x_{0} = 0 Δ x \to 0 x = x_{0} + Δ x ∣ ∣ = = Δ x \to 0 lim f (x_{0} + Δ x)$

Обратим внимание, что функция $Δ x$ при стремлении $x$ к $x_{0}$ не равна $0$ нигде (кроме точки самой точки $x_{0}$ , которую мы не рассматриваем). Это необходимое условие для применения теоремы о пределе сложной функции.

Итак, мы показали равенство двух пределов:

$x \to x_{0} lim f (x) = Δ x \to 0 lim f (x_{0} + Δ x)$

Это означает, что нет разницы, какой из них использовать при доказательстве непрерывности функции в точке.

$■$

Связи в справке

Зависит от

Предел сложной функции

Удобная формула для вычисления пределов с помощью замены переменной.

Используется в

Арифметические свойства непрерывности

Сохранение непрерывности при сложении, вычитании, умножении и делении функций.

Непрерывность тригонометрических функций

Доказательство непрерывности тригонометрических функций (включая обратные) на всей своей области определения.