оказывать непрерывность будем с помощью предела приращений переменной, приведенного в прото-задаче П-ссылка.

Кроме того, в ходе рассуждений мы воспользуемся двумя пределами:

$$\underset{x\to 0}{\lim }\sin (x)=0\underset{x\to 0}{\lim }\cos (x)=1$$

# Непрерывность синуса и косинуса

Возьмем произвольную точку $x_0$ из области определения $\mathbb{R}$ синуса (и косинуса):

Докажем, что выполняется равенство:

$$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\sin (x_0+\Delta x)=\sin (x_0)$$

Воспользуемся формулой синуса суммы углов, а также арифметическими свойствами пределов:

$$\begin{gathered} \underset{\Delta x\to 0}{\lim }\sin (x_0+\Delta x)= \\ =\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\left[\sin \left(x_0\right)\cos (\Delta x)+\cos (x_0)\sin (\Delta x)\right]= \\ =\sin (x_0)\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\cos (\Delta x)+\cos (x_0)\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\sin (\Delta x)=\dots \end{gathered}$$

Теперь используем два доказанных в начале решения равенства:

$$\dots =\sin (x_0)\cdot 1+\cos (x_0)\cdot 0=\sin (x_0)$$

Мы доказали, что

$$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\sin (x_0+\Delta x)=\sin (x_0)$$

Это по определению означает, что функция синуса непрерывна на всей своей области определения.

$■$

Аналогичные действия проводим и для косинуса. В этот раз пользуемся формулой косинуса суммы:

$$\begin{gathered} \underset{\Delta x\to 0}{\lim }\cos (x_0+\Delta x)= \\ =\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\left[\cos (x_0)\cos (\Delta x)-\sin (x_0)\sin (\Delta x)\right]= \\ =\cos (x_0)\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\cos (\Delta x)-\sin (x_0)\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\sin (\Delta x)= \\ =\cos (x_0)\cdot 1-\sin (x_0)\cdot 0=\cos (x_0) \end{gathered}$$

Мы доказали, что

$$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\cos (x_0+\Delta x)=\cos (x_0)$$

Это по определению означает, что функция косинуса непрерывна на всей своей области определения.

$■$

Непрерывность тангенса и котангенса

Возьмем произвольную точку $x_0$ из области определения тангнеса или котангенса:

$$x_0\in \mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+\pi n,n\in \mathbb{Z}\right\}\text{или}{x}_0\in \mathbb{R}\setminus \left\{\pi n,n\in \mathbb{Z}\right\}$$

Тогда, пользуясь определениями функций тангенса и котангенса, доказанной непрерывностью синуса и косинуса, а также арифметическими свойствами пределов, получаем, что:

$$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\mathrm{tg}(x_0+\Delta x)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\sin (x_0+\Delta x)}{\cos (x_0+\Delta x)}=\frac{\sin (x_0)}{\cos (x_0)}=\mathrm{tg}(x_0)$$

$$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\mathrm{ctg}(x_0+\Delta x)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\cos (x_0+\Delta x)}{\sin (x_0+\Delta x)}=\frac{\cos (x_0)}{\sin (x_0)}=\mathrm{ctg}(x_0)$$

Это по опрделению означает, что функции тангенса и котангенса непрерывны на всей своей области определения.

$■$