Сходимость по расширенным индексам

По условию имеем, что $x_n\to A$. Распишем по определению:

$$\forall \epsilon >0\exists N_x=N_x(\epsilon )\forall n>N_x:|x_n-A|<\epsilon$$

Также по условию $z_n\to +\infty$. Распишем по определению:

$$\forall E>0\exists N_z=N_z(E)\forall n>N_z:z_n>E$$

Рассмотрим теперь произвольное положительное число ${\epsilon }^{\prime }$. Для него с помощью первого определения найдется такое $N_x^{\prime }$, что для любого $n>N_x^{\prime }$ выполняется неравенство $|x_n-A|<{\epsilon }^{\prime }$.

Но для числа $N_x^{\prime }$ с помощью второго определения можно найти такое $N_z^{\prime }$, что для любого $n>N_z^{\prime }$ выполняется неравенство $z_n>N_x^{\prime }$.

Но $z_n$ по условию состоит из натуральных чисел, поэтому все такие $z_n$ могут использоваться в качестве индексов для $x_n$, а значит для всех $z_n$ будет выполняться неравенство

$$|\underset{=y_n}{\underbrace{x_{z_n}}}-A|<{\epsilon }^{\prime }$$

Итак, для любого $\epsilon >0$ найдется такое $N$, что для любого $n>N$ будет выполняться неравенство $|y_n-A|<\epsilon$.

Это по определению означает, что

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_n=A$$

$■$