Задача 71 — Демидович

Пусть $p_{n} (n = 1, 2, \dots)$ — произвольная последовательность чисел, стремящаяся к $+ \infty$ и $q_{n} (n = 1, 2, \dots)$ — произвольная последовательность чисел, стремящаяся к $- \infty (p_{n}, q_{n} \overline{\in} [- 1, 0])$ . Доказать, что

$n \to \infty lim (1 + \frac{1}{p _{n}})^{p_{n}} = n \to \infty lim (1 + \frac{1}{q _{n}})^{q_{n}} = e$

Петр Радько

Зависимость

Указание

Доказательство для $p_{n}$

Докажите, что выполняется неравенство

$(1 + \frac{1}{k _{n} + 1})^{k_{n}} \leq (1 + \frac{1}{p _{n}})^{p_{n}} \leq (1 + \frac{1}{k _{n}})^{k_{n} + 1},$

где $k_{n}$ — последовательность, состоящая из натуральных чисел и стремящаяся к $+ \infty$ .

Доказательство для $q_{n}$

Введите новую последовательность:

$q_{n}^{'} = - q_{n}$

С помощью этого обозначения проведите доказательство.

Решение

Доказательство для $p_{n}$

Раз $p_{n} \to + \infty$ то отбросим конечное число первых членов этой последовательности, которые меньше $1$ . По прото-задаче П-ссылка при рассмотрении только тех членов $p_{n}$ , которые больше $1$ искомый предел не изменится.

Итак, дальше исходим из того, что $p_{n} > 1$ .

Докажем, что

$n \to \infty lim (1 + \frac{1}{p _{n}})^{p_{n}} = e$

Рассмотрим следующую последовательность $k_{n}$ :

$k_{n} = ⌊ p_{n} ⌋$

Раз $p_{n} \to + \infty$ , то и $k_{n} \to + \infty$ .

Воспользуемся неравенством

$⌊ p_{n} ⌋ \leq p_{n} \leq ⌊ p_{n} ⌋ + 1$

Доказательство неравенства

Докажем, что для любого $x$ выполняется неравенство

$⌊ x ⌋ \leq x \leq ⌊ x ⌋ + 1$

Рассмотрим, какие значения может принимать разница

$⌈ x ⌉ - ⌊ x ⌋$

Эта разница равна $0$ , когда $x$ — целое число и $1$ в остальных случаях.

В любом случае, выполняется неравенство

$⌈ x ⌉ - ⌊ x ⌋ \leq 1$

Тогда

$⌈ x ⌉ \leq 1 + ⌊ x ⌋$

Отсюда

$⌊ x ⌋ \leq x \leq ⌈ x ⌉ \leq ⌊ x ⌋ + 1$

$⌊ x ⌋ \leq x \leq ⌊ x ⌋ + 1$

$■$

k_{n} \leq p_{n} \leq k_{n} + 1

«Перевернем» дроби:

$\frac{1}{k _{n} + 1} \leq \frac{1}{p _{n}} \leq \frac{1}{k _{n}}$

Прибавим ко всем частям неравенства по $1$ :

$1 + \frac{1}{k _{n} + 1} \leq 1 + \frac{1}{p _{n}} \leq 1 + \frac{1}{k _{n}}$

Тогда

$(1 + \frac{1}{k _{n} + 1})^{k_{n}} \leq (1 + \frac{1}{p _{n}})^{p_{n}} \leq (1 + \frac{1}{k _{n}})^{k_{n} + 1}$

Пояснение с возведением в степень

Докажем, что если

$a \leq b \leq c (a, b, c > 1)$

$x \leq y \leq z (x, y, z > 0)$

то

$a^{x} \leq b^{y} \leq c^{z}$

Прологарифмируем первое неравенство сверху:

$ln a \leq ln b \leq ln c$

Умножим это неравенство на второе сверху:

$x ln a \leq y ln b \leq z ln c$

Представим каждую часть неравенства как показатель степени с основанием $e$ (знак неравенств не изменится, так как $e > 1$ ):

$e^{x l n a} \leq e^{y l n b} \leq e^{z l n c}$

$a^{x} \leq b^{y} \leq c^{z}$

$■$

\frac{( 1 + \frac{1}{k _{n} + 1} ) ^{k_{n} + 1}}{( 1 + \frac{1}{k _{n} + 1} )} \leq (1 + \frac{1}{p _{n}}) \leq (1 + \frac{1}{k _{n}})^{k_{n} + 1}

Рассмотрим отдельно пределы последовательностей в правой и левой частях этого неравенства.

Предел правой части

Из задачи 69 известно

$n \to \infty lim (1 + \frac{1}{n})^{n + 1} = e$

Последовательность $k_{n}$ состоит только из натуральных чисел и стремится к $+ \infty$ , а значит, по прото-задаче П-ссылка

$n \to \infty lim (1 + \frac{1}{k _{n}})^{k_{n} + 1} = e$

Предел левой части

Известно, что

$n \to \infty lim (1 + \frac{1}{n})^{n}$

Последовательность $k_{n} + 1$ состоит только из натуральных чисел и стремится к $+ \infty$ (так как этим условиям удовлетворяет $k_{n}$ ), а значит, по прото-задаче П-ссылка

$n \to \infty lim (1 + \frac{1}{k _{n} + 1})^{k_{n} + 1} = e$

Раз последовательность $k_{n} + 1 \to + \infty$ , то, по прото-задаче П-ссылка последовательность $\frac{1}{k _{n} + 1} \to 0$ :

$n \to \infty lim (1 + \frac{1}{k _{n} + 1}) = 1 + n \to \infty lim \frac{1}{k _{n} + 1} = 1 + 0 = 1$

Теперь мы можем найти предел левой части неравенства:

$n \to \infty lim \frac{( 1 + \frac{1}{k _{n} + 1} ) ^{k_{n} + 1}}{( 1 + \frac{1}{k _{n} + 1} )} = \frac{n \to \infty lim ( 1 + \frac{1}{k _{n} + 1} ) ^{k_{n} + 1}}{n \to \infty lim ( 1 + \frac{1}{k _{n} + 1} )} = \frac{e}{1} = e$

К неравенству

Итак, в неравенстве

$\frac{( 1 + \frac{1}{k _{n} + 1} ) ^{k_{n} + 1}}{( 1 + \frac{1}{k _{n} + 1} )} \leq (1 + \frac{1}{p _{n}}) \leq (1 + \frac{1}{k _{n}})^{k_{n} + 1}$

последовательности слева и справа стремятся к $e$ , значит, по теореме о двух милиционерах, «зажатая» между ними последовательность тоже стремится к $e$ :

$n \to \infty lim (1 + \frac{1}{p _{n}})^{p_{n}} = e$

$■$

Доказательство для $q_{n}$

Из условия $q_{n} \to - \infty$ . Тогда введем новую последовательность

$q_{n}^{'} = - q_{n}$

Тогда $q_{n}^{'} \to + \infty$ .

$q_{n} = - q_{n}^{'}$

Рассмотрим последовательность, предел которой надо найти:

$(1 + \frac{1}{q _{n}})^{q_{n}} = (1 - \frac{1}{q _{n}^{'}})^{- q_{n}^{'}} = (\frac{1}{1 - \frac{1}{q _{n}^{'}}})^{q_{n}^{'}} = (\frac{q _{n}^{'}}{q _{n}^{'} - 1})^{q_{n}^{'}} = = (\frac{q _{n}^{'} - 1 + 1}{q _{n}^{'} - 1})^{q_{n}^{'}} = (1 + \frac{1}{( q _{n}^{'} - 1 )})^{(q_{n}^{'} - 1) + 1} = = (1 + \frac{1}{q _{n}^{'} - 1})^{q_{n}^{'} - 1} (1 + \frac{1}{q _{n}^{'} - 1})$

Найдем предел

$n \to \infty lim (1 + \frac{1}{q _{n}})^{q_{n}} = n \to \infty lim (1 + \frac{1}{q _{n}^{'} - 1})^{q_{n}^{'} - 1} (1 + \frac{1}{q _{n}^{'} - 1}) = = n \to \infty lim (1 + \frac{1}{q _{n}^{'} - 1})^{q_{n}^{'} - 1} = 1 n \to \infty lim (1 + \frac{1}{q _{n}^{'} - 1}) = = n \to \infty lim (1 + \frac{1}{q _{n}^{'} - 1})^{q_{n}^{'} - 1} = e$

с учетом того, что последовательность $q_{n}^{'} - 1 \to + \infty$ , так как $q_{n}^{'} \to + \infty$ , а сходимость к $e$ для бесконечно больших последовательностей мы уже доказали выше.