Количество предельных точек

Будем доказывать от противного. Пусть у последовательности $x_n$ существует еще одна отличная от всех других предельная точка $A_t$. По определению это означает, что существует некоторая подпоследовательность $y_{tn}$, такая что

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_{tn}=A_t$$

Рассмотрим число $E$, равное

$$E=\frac{\min \left|A_i-A_j\right|}{3},(i,j=1,2,\dots k,t)$$

В числителе мы находим такие две предельные точки, расстояние между которыми минимально (включая в рассмотрение «якобы» предельную точку $A_t$). Затем найденное минимальное расстояние делим на $3$, чтобы исключить пересечение $E$-окрестностей для разных предельных точек.

Распишем по определению, что означает предел подпоследовательностей $y_{1n},y_{2n},\dots y_{kn},y_{tn}$:

$$\begin{gathered} \underset{n\to \infty }{\lim }{y}_{1n}=A_1\iff \forall \epsilon >0\exists N_1\forall n>N_1:|y_{1n}-A_1|<\epsilon \\ \underset{n\to \infty }{\lim }{y}_{2n}=A_2\iff \forall \epsilon >0\exists N_2\forall n>N_2:|y_{2n}-A_2|<\epsilon \\ \cdots \\ \underset{n\to \infty }{\lim }{y}_{kn}=A_k\iff \forall \epsilon >0\exists N_k\forall n>N_k:|y_{kn}-A_k|<\epsilon \\ \underset{n\to \infty }{\lim }{y}_{tn}=A_t\iff \forall \epsilon >0\exists N_t\forall n>N_t:|y_{tn}-A_t|<\epsilon \end{gathered}$$

Раз все определения выполняются для любого положительного $\epsilon$, то они выполняются и для ранее полученного числа $E$.

Пусть

$$N=\max \left(N_1,N_2,\dots ,N_k,N_t\right)$$

Итак, для $E$ существует такое $N$, что для любого $n>N$ одновременно выполняются неравенства:

$$\begin{gathered} |y_{1n}-A_1|<E \\ |y_{2n}-A_2|<E \\ \cdots \\ |y_{kn}-A_k|<E \\ |y_{tn}-A_t|<E \end{gathered}$$

Каждое из этих неравенств означает, что член подпоследовательности $y_{in}$ лежит в $E$-окрестности точки $A_i$:

Рассмотрим последнее неравенство. Для $E$ существует такое $N$, что для любого $n>N$ выполняется

$$|y_{tn}-A_t|<E$$

Эта запись означает, что член подпоследовательности $y_{tn}$ лежит в $E$-окрестности точки $A_t$. Этот член подпоследовательности является членом исходной последовательности с каким-то номером $m$:

$$y_{tn}=x_m$$

В условии сказано, что каждый член исходной последовательности $x_n$ принадлежит одной из подпоследовательностей $y_{1n},y_{2n},\dots ,y_{kn}$. Значит и $y_{tn}=x_m$ принадлежит одной из этих подпоследовательностей. Предположим, он принадлежит подпоследовательности $y_{4n}$. Это означает, что $y_{tn}$ лежит в $E$-окрестности точки $A_4$, а не точки $A_t$.

Подобные рассуждения можно провести для любого члена $y_{tn}$ при $n>N$. Это означает, что после $N$ никакой элемент $y_{tn}$ не находится в $E$-окрестности точки $A_t$. Получили противоречие. Значит $A_t$ — не может быть предельной точкой последовательности $x_n$.

$■$