Выясним, какие значения может принимать

$$\cos \frac{2n\pi }{3}$$

Любое натуральное число $n$ при делении на $3$ дает один из трех остатков: $0,1$ или $2$, то есть его можно представить в одном из следующих видов:

$$3k,3k-1,3k-2$$

Рассмотрим значение синуса выше при каждом из этих видов:

$$\cos \frac{(3k)2\pi }{3}=\cos 2\pi =1$$

$$\cos \frac{(3k-1)2\pi }{3}=\cos \left(2\pi k-\frac{2\pi }{3}\right)=\cos -\frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}$$

$$\cos \frac{(3k-2)2\pi }{3}=\cos \left(2\pi k-\frac{4\pi }{3}\right)=\cos -\frac{4\pi }{3}=-\frac{1}{2}$$

Получим формулы для трех подпоследовательностей:

$$x_{3n}=(1{)}^{3n}=1$$

$$x_{3n-1}={\left(-\frac{1}{2}\right)}^{3n-1}=-2{\left(-\frac{1}{8}\right)}^n$$

$$x_{3n-2}={\left(-\frac{1}{2}\right)}^{3n-2}=4{\left(-\frac{1}{8}\right)}^n$$

Найдем пределы этих подпоследовательностей:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_{3n}=\underset{n\to \infty }{\lim }1=1$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_{3n-1}=\underset{n\to \infty }{\lim }-2{\left(-\frac{1}{8}\right)}^n=0$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_{3n-2}=\underset{n\to \infty }{\lim }4{\left(-\frac{1}{8}\right)}^n=0$$

В последних двух пределах мы воспользовались тем, что предел геометрической прогрессии, у которой модуль знаменателя меньше $1$, равен $0$ (см. прото-задачу П-ссылка).

Итак, мы нашли два частичных предела последовательности $x_n$: $1$ и $0$. По прото-задаче П-ссылка, других предельных точек у $x_n$ нет.

А значит:

$$\overline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{x}_n=1$$

$$\underline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{x}_n=0$$