Задача 138 — Демидович

Докажите, что если $x_{n}$ сходится к $a$ , то для любого $ε > 0$ существует номер $N$ , такой, что любое среднее арифметическое от $N + 1$ до произвольного $n > N$ находятся в $ε$ -окрестности $a$ .

Разложите $ξ_{n}$ так, чтобы получить удовлетворяющие лемме средние арифметические и докажите сходимость $ξ_{n}$ по определению предела.

Решение

Лемма

Для членов сходящейся к какому-то $a$ последовательности $x_{n}$ справедлива следующая лемма:

Для любого $ε > 0$ существует номер $N$ , такой, что любые средние арифметические от $N + 1$ до произвольного $n > N$ попадают в $ε$ -окрестность $a$ :

$∣ ∣ \frac{x _{N + 1} + \dots + x _{n}}{n - N} - a ∣ ∣ < ε$

Доказательство

По условию последовательность $x_{n}$ сходится, то есть

$\exists n \to \infty lim x_{n} = a$

По определению это означает, что

$\forall ε > 0 \exists N = N (ε) \forall n > N : ∣ x_{n} - a ∣ < ε$

Неравенство в конце можно разложить (П-ссылка):

$∣ x_{n} - a ∣ < ε a - ε < x_{n} < a + ε$

В последнем неравенстве у $x_{n}$ индекс может быть равен любому натуральному числу, начиная с $N + 1$ :

$a - ε < x_{N + 1} < a + ε a - ε < x_{N + 2} < a + ε \dots a - ε < x_{n} < a + ε$

Сложим все эти неравенства друг с другом:

$(n - N) (a - ε) < x_{N + 1} + \dots + x_{n} < (n - N) (a + ε)$

$a - ε < \frac{x _{N + 1} + \dots + x _{n}}{n - N} < a + ε$

$∣ ∣ \frac{x _{N + 1} + \dots + x _{n}}{n - N} - a ∣ ∣ < ε$

$■$

# Задача

Докажем теперь, что последовательность средних арифметических $ξ_{n}$ сходится к $a$ . Доказывать будем по определению предела.

Фиксируем какое-то $ε > 0$ . Для этого $ε$ найти такое $N$ , чтобы для любого $n > N$ выполнялось неравенство $∣ ξ_{n} - a ∣ < ε$ .

Возьмем число $\frac{ε}{2}$ и для него по доказанной выше лемме получаем номер $N^{'}$ и разложим $ξ_{n}$ следующим образом:

$ξ_{n} = \frac{1}{n} (x_{1} + \dots + x_{n}) = = \frac{n - N ^{'}}{n - N ^{'}} \cdot \frac{x _{1} + \dots + x _{N^{'}} + x _{N^{'} + 1} + x _{N^{'} + 2} + \dots + x _{n}}{n} = = u_{n} \frac{n - N ^{'}}{n} \cdot ⎝ ⎛ v_{n} \frac{x _{1} + \dots + x _{N^{'}}}{n - N ^{'}} + w_{n} \frac{x _{N^{'} + 1} + \dots + x _{n}}{n - N ^{'}} ⎠ ⎞ = = u_{n} (v_{n} + w_{n}) = u_{n} \cdot v_{n} + u_{n} \cdot w_{n}$

Найдем теперь пределы последовательностей $u_{n}$ и $v_{n}$ в этом разложении:

n \to \infty lim u_{n} = 1

$n \to \infty lim u_{n} = n \to \infty lim \frac{n - N ^{'}}{n} = n \to \infty lim 1 - \frac{N ^{'}}{n} = 1 - 0 = 1$

n \to \infty lim v_{n} = 0

$n \to \infty lim v_{n} = n \to \infty lim \frac{x _{1} + \dots + x _{N}^{'}}{n - N ^{'}} = 0$

Действительно, в числителе имеем сумму конечного числа членов, то есть константу, а в знаменателе бесконечно возрастающую последовательность натуральных чисел (начиная с $n = N^{'} + 1$ ).

Возвращаемся к неравенству

∣ ξ_{n} - a ∣ < ε

, которое нам нужно доказать, и воспользуемся полученным разложением:

$∣ ξ_{n} - a ∣ = ∣ u_{n} v_{n} + u_{n} w_{n} - a ∣$

Воспользуемся неравенством треугольника (П-ссылка):

$∣ u_{n} v_{n} + u_{n} w_{n} - a ∣ \leq ∣ u_{n} v_{n} ∣ + ∣ u_{n} w_{n} - a ∣$

С учетом того, что $u_{n}$ при любом $n$ будет меньше $1$ , можно из $∣ u_{n} w_{n} - a ∣$ получить неравенство $∣ u_{n} w_{n} - a ∣ < ∣ w_{n} - a ∣$ . Итак, получаем финальный вариант неравенства:

$\dots \leq ∣ u_{n} v_{n} ∣ + ∣ u_{n} w_{n} - a ∣ < ∣ u_{n} v_{n} ∣ + ∣ w_{n} - a ∣$

Вспоминаем, что мы разложили $ξ_{n}$ специально под $\frac{ε}{2}$ по лемме из начала решения. Поэтому:

$∣ w_{n} - a ∣ < \frac{ε}{2}$

Используем это в нашем неравенстве:

$\dots < ∣ u_{n} v_{n} ∣ + ∣ w_{n} - a ∣ < ∣ u_{n} v_{n} ∣ + \frac{ε}{2}$

Наконец, произведение $u_{n} v_{n}$ стремится к $1 \cdot 0$ , то есть к $0$ , поэтому по определению предела для $\frac{ε}{2}$ найдется такое $N^{''}$ , что

$∣ u_{n} v_{n} ∣ < \frac{ε}{2}$

Тогда введем обозначение $N = max (N^{'}, N^{''})$ и для этого $N$ уже выполняется неравенство:

$\dots < ∣ u_{n} v_{n} ∣ + \frac{ε}{2} < \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2} < ε$

Теперь скроем все промежуточные звенья цепного неравенства и получаем:

$∣ ξ_{n} - a ∣ \leq \dots < ε$

$∣ ξ_{n} - a ∣ < ε$

Итак, мы для произвольного $ε > 0$ всегда сможем найти $N = max (N^{'}, N^{''})$ , такое, что для любого $n > N$ будет выполняться неравенство $∣ ξ_{n} - a ∣ < ε$ . Это по определению означает, что последовательность $ξ_{n}$ сходится к $a$

$■$

Пример неверности обратного утверждения приведен в конце разбора 1.

Зависимости

Свойства модуля

Самые полезные и часто требующиеся свойства модуля.

Упрощение модулей в неравенствах

Очень полезные соотношения для быстрого решения неравенств с модулями.

Семён Вдовыкин

Зависимость

Указание

Воспользуйтесь теоремой Штольца из задачи 143.

Решение

Попробуем воспользоваться теоремой Штольца (143).

Для этого введем новые обозначения:

$a_{n} = x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n} y_{n} = n$

Последовательность натуральных чисел $y_{n}$ строго возрастает и стремится к $+ \infty$ .

Теперь попытаемся найти предел:

$n \to \infty lim \frac{a _{n + 1} - a _{n}}{y _{n + 1} - y _{n}} = = n \to \infty lim \frac{x _{1} + \dots + x _{n} + x _{n + 1} - x _{1} - \dots - x _{n}}{n + 1 - n} = = n \to \infty lim \frac{x _{n + 1}}{1} = n \to \infty lim x_{n}$

В конце рассуждений мы воспользовались тем, что последовательность ${x_{n + 1}}$ является «смещенной на член вперед» подпоследовательностью сходящейся последовательности ${x_{n}}$ , а значит имеет такой же предел П-ссылка.

Итак, все условия теоремы Штольца выполняются, а значит последовательность

$\frac{a _{n}}{y _{n}} = \frac{x _{1} + x _{2} + \dots + x _{n}}{n} = ξ_{n}$

сходится и ее предел равен пределу последовательности $x_{n}$ .

$n \to \infty lim ξ_{n} = n \to \infty lim x_{n}$

$■$

Пример неверности обратного утверждения приведен в конце разбора 1.

Зависимости

Задача 143

Единственность предельной точки

Петр Радько

Решение

Примем следующее обозначение:

$s_{n} = x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}$

Раз $x_{n}$ сходится, то существует какое-то $A$ такое, что

$n \to \infty lim x_{n} = A$

Распишем это по определению предела:

$\forall ε > 0 \exists N = N (ε) \forall n > N : ∣ x_{n} - A ∣ < ε$

Возьмем теперь произвольное $ε^{'} > 0$ . Число $\frac{ε ^{'}}{3}$ тоже положительное, поэтому для него выполняется определение выше, то есть существует такое $N^{'}$ , что выполняется неравенство:

$∣ x_{n} - A ∣ < \frac{ε ^{'}}{3}$

Рассмотрим теперь, чему равно $∣ ξ_{n} - A ∣$ :

$∣ ξ_{n} - A ∣ = ∣ ∣ \frac{x _{1} + x _{2} + \dots + x _{N^{'}} + x _{N^{'} + 1} + \dots + x _{n}}{n} - A ∣ ∣$

Разделим эту большую дробь на две поменьше:

$∣ ξ_{n} - A ∣ = ∣ ∣ \frac{x _{1} + x _{2} + \dots + x _{N^{'}}}{n} + \frac{x _{N^{'} + 1} + \dots + x _{n}}{n} - A ∣ ∣$

Воспользуемся свойством модуля (см. прото-задачу П-ссылка):

$∣ ξ_{n} - A ∣ = ∣ ∣ \frac{x _{1} + x _{2} + \dots + x _{N^{'}}}{n} + \frac{x _{N^{'} + 1} + \dots + x _{n}}{n} - A ∣ ∣ \leq \leq ∣ ∣ \frac{x _{1} + \dots + x _{N^{'}}}{n} ∣ ∣ + ∣ ∣ \frac{x _{N^{'} + 1} + \dots + x _{n}}{n} - A ∣ ∣$

Теперь рассмотрим оба слагаемых по отдельности. Начнем с

$\frac{x _{1} + \dots + x _{N^{'}}}{n}$

Числитель этой дроби — константа, поэтому легко найти предел:

$n \to \infty lim \frac{x _{1} + \dots + x _{N^{'}}}{n} = 0$

Здесь мы воспользовались тем, что $\frac{1}{n} \to 0$ .

По определению это означает, что

$\forall ε > 0 \exists N = N (ε) \forall n > N : ∣ ∣ \frac{x _{1} + \dots + x _{N^{'}}}{n} ∣ ∣ < ε$

Раз выполняется для любого $ε$ , то и для $\frac{ε ^{'}}{3}$ найдется такое $N^{''}$ , что для всех $n > N^{''}$ будет выполняться неравенство

$∣ ∣ \frac{x _{1} + \dots + x _{N^{'}}}{n} ∣ ∣ < \frac{ε ^{'}}{3}$

Итак, возвращаясь к нашему неравенству, имеем

$∣ ξ_{n} - A ∣ < < \frac{ε ^{'}}{3} ∣ ∣ \frac{x _{1} + \dots + x _{N^{'}}}{n} ∣ ∣ + ∣ ∣ \frac{x _{N^{'} + 1} + \dots + x _{n}}{n} - A ∣ ∣$

$∣ ξ_{n} - A ∣ < \frac{ε ^{'}}{3} + ∣ ∣ \frac{x _{N^{'} + 1} + \dots + x _{n}}{n} - A ∣ ∣$

Стоит заметить, что здесь речь уже идет о $n > max (N^{'}, N^{''})$ , чтобы выполнялись сразу оба неравенства из определений для $x_{n} \to A$ и $\frac{x _{1} + \dots + x _{N^{'}}}{n} \to 0$ .

Разберемся теперь со вторым модулем:

$∣ ∣ \frac{x _{N^{'} + 1} + \dots + x _{n}}{n} - A ∣ ∣$

Но для всех $x_{n}$ при $n > N^{'}$ выполняется неравенство $∣ x_{n} - A ∣ < \frac{ε ^{'}}{3}$ . Упростим это неравенство по пункту 1 прото-задачи П-ссылка:

$∣ x_{n} - A ∣ < \frac{ε ^{'}}{3} \Leftrightarrow {x_{n} - A < \frac{ε ^{'}}{3} x_{n} - A > - \frac{ε ^{'}}{3}$

Нас интересует только первое неравенство справа:

$x_{n} - A < \frac{ε ^{'}}{3}$

$x_{n} < \frac{ε ^{'}}{3} + A$

Итак,

$∣ ∣ \frac{x _{N^{'} + 1} + \dots + x _{n}}{n} - A ∣ ∣ \leq ∣ ∣ \frac{( A + \frac{ε ^{'}}{3} ) + ( A + \frac{ε ^{'}}{3} ) + \dots}{n} - A ∣ ∣ = = ∣ ∣ (A + \frac{ε ^{'}}{3}) \frac{n - N ^{'}}{n} - A ∣ ∣ = ∣ ∣ (A + \frac{ε ^{'}}{3}) (1 - \frac{N ^{'}}{n}) - A ∣ ∣ = = ∣ ∣ (A + \frac{ε ^{'}}{3}) - (A + \frac{ε ^{'}}{3}) \frac{N ^{'}}{n} - A ∣ ∣ = ∣ ∣ \frac{ε ^{'}}{3} - (A + \frac{ε ^{'}}{3}) \frac{N ^{'}}{n} ∣ ∣ \leq \leq ∣ ∣ \frac{ε ^{'}}{3} ∣ ∣ + ∣ ∣ (A + \frac{ε ^{'}}{3}) \frac{N ^{'}}{n} ∣ ∣ = \frac{ε ^{'}}{3} + ∣ ∣ (A + \frac{ε ^{'}}{3}) \frac{N ^{'}}{n} ∣ ∣$

Имеем следующее выражение:

$(A + \frac{ε ^{'}}{3}) \frac{N ^{'}}{n}$

В нем все кроме $n$ является константой, поэтому все это выражение тоже стремится к $0$ (как и дробь, которую мы рассмотрели выше). Значит, можно найти такое $N^{'''}$ , что для любого $n > N^{'''}$ выполняется неравенство:

$∣ ∣ (A + \frac{ε ^{'}}{3}) \frac{N ^{'}}{n} ∣ ∣ < \frac{ε ^{'}}{3}$

Возвращаемся к неравенству:

$∣ ∣ \frac{x _{N^{'} + 1} + \dots + x _{n}}{n} - A ∣ ∣ \leq \frac{ε ^{'}}{3} + < \frac{ε ^{'}}{3} ∣ ∣ (A + \frac{ε ^{'}}{3}) \frac{N ^{'}}{n} ∣ ∣$

$∣ ∣ \frac{x _{N^{'} + 1} + \dots + x _{n}}{n} - A ∣ ∣ \leq \frac{ε ^{'}}{3} + \frac{ε ^{'}}{3}$

$∣ ∣ \frac{x _{N^{'} + 1} + \dots + x _{n}}{n} - A ∣ ∣ \leq \frac{2 ε ^{'}}{3}$

Стоит заметить, что здесь речь уже идет о $n > max (N^{'}, N^{''}, N^{'''})$ , чтобы выполнялись сразу стри неравенства из определений для $x_{n} \to A$ и $\frac{x _{1} + \dots + x _{N^{'}}}{n} \to 0$ и $(A + \frac{ε ^{'}}{3}) \frac{N ^{'}}{n}$ .

Итак,

$∣ ξ_{n} - A ∣ < \frac{ε ^{'}}{3} + < \frac{2 ε ^{'}}{3} ∣ ∣ \frac{x _{N^{'} + 1} + \dots + x _{n}}{n} - A ∣ ∣$

$∣ ξ_{n} - A ∣ < \frac{ε ^{'}}{3} + \frac{2 ε ^{'}}{3}$

$∣ ξ_{n} - A ∣ < ε^{'}$

Мы показали, что какое бы положительное число $ε$ мы не взяли, всегда найдутся три таких $N^{'}, N^{''}, N^{'''}$ , что для любого $n > N = max (N^{'}, N^{''}, N^{'''})$ будет выполняться неравенство:

$∣ ξ_{n} - A ∣ < ε$

Это по определению означает, что

$n \to \infty lim ξ_{n} = n \to \infty lim x_{n} = A$

$n \to \infty lim ξ_{n} = n \to \infty lim x_{n}$

В качестве примера неверности обратного утверждения рассмотрим последовательность $y_{n} = (- 1)^{n}$ :

$y_{n} = (- 1)^{n} = - 1, 1, - 1, 1, \dots$

У этой последовательности есть два разных частичных предела $1$ для четных $n$ и $- 1$ для нечетных $n$ . Это значит, $y_{n}$ расходится.

Рассмотрим теперь $ξ_{y_{n}}$ :

$ξ_{y_{n}} = \frac{y _{1} + y _{2} + \dots + y _{n}}{n} = \frac{- 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + \dots}{n}$

Если $n$ — четное, то количество $- 1$ будет равно количеству $1$ и числитель, а значит и само $ξ_{y_{2 n}} = 0$ . Если $n$ — нечетное, то в числителе все слагаемые тоже обратятся в $0$ за исключением последней $- 1$ .

Итак, получили две подпоследовательности:

$ξ_{y_{2 n}} = 0 ξ_{y_{2 n - 1}} = - \frac{1}{n}$

$n \to \infty lim ξ_{y_{2 n}} = n \to \infty lim 0 = 0$

$n \to \infty lim ξ_{y_{2 n - 1}} = n \to \infty lim - \frac{1}{n} = 0$

Получается, что $0$ — предельная точка $ξ_{y_{n}}$ . Но любой член $ξ_{y_{n}}$ лежит либо в $ξ_{y_{2 n}}$ , либо в $ξ_{y_{2 n - 1}}$ , а по прото-задаче П-ссылка это означает, что других предельных точек у $ξ_{y_{n}}$ нет.

Итак, у $ξ_{y_{n}}$ есть только одна предельная точка $0$ . По прото-задаче П-ссылка это означает, что

$n \to \infty lim ξ_{y_{n}} = 0$

Мы доказали, что существует такая расодящаяся $y_{n}$ , что ее последовательность средних арифметических сходится.

Зависимости

Свойства модуля

Самые полезные и часто требующиеся свойства модуля.

Упрощение модулей в неравенствах

Очень полезные соотношения для быстрого решения неравенств с модулями.

Единственность предельной точки

Количество предельных точек

Важная теорема о количестве предельных точек последовательности.

137 139