Второй замечательный предел (последовательность)

-- бозначим нашу последовательность из условия за $x_n$:

$$x_n={\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$$

Воспользуемся формулой бинома Ньютона, которую мы вывели в задаче 5:

$$(a+b{)}^n=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{a}^{n-k}{b}^k$$

Разложим по биному Ньютона $n$-ый член последовательности $x_n$:

$$x_n={\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{\frac{1}{n}}^k$$

Рассмотрим $k$-ый член этой суммы:

$$s_k=C_n^k{\frac{1}{n}}^k=\frac{1}{k!}\cdot \frac{n!}{n^k(n-k)!}$$

Но

$$\frac{n!}{(n-k)!}=\stackrel{k\text{ множителей}}{\overbrace{n(n-1)(n-2)\dots (n-k+1)}}$$

Поэтому перезапишем формулу для $s_k$:

$$s_k=\frac{1}{k!}\cdot \frac{n(n-1)(n-2)\dots (n-k+1)}{n^k}$$

Теперь каждый множитель числителя будем поделим на ровно одно $n$ в знаменателе. $n^k$ хватит на все $k$ множителей в числителе:

$$s_k=\frac{1}{k!}\cdot \stackrel{k\text{ множителей}}{\overbrace{\frac{n}{n}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)\dots \left(1-\frac{k-1}{n}\right)}}$$

Изучим $s_k$. Во-первых, $s_k>0$, так как $\frac{1}{k!}>0$ и каждая скобка больше нуля. Более того, если вместо $n$ поставить $n+1$, то вычитаемая из $1$ дробь в каждой скобке уменьшится, а значит сама скобка увеличится (кроме $s_0$ и $s_1$, где скобок вообще нет).

Теперь, с готовой формулой для $s_k$, запишем новую формулу для $x_n$:

$$\begin{gathered} x_n={\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n=\sum _{k=0}^n{s}_k=s_0+s_1+\dots +s_n= \\ =1+1+s_2+s_3+\dots +s_n \end{gathered}$$

При увеличении $n$ на единицу в конце суммы добавится еще одно слагаемое $s_{n+1}$. Плюс, как мы уже выяснили, каждое из $s_k$ увеличится (за исключением $s_0$ и $s_1$). Раз увеличилось число слагаемых и увеличилось каждое слагаемое по отдельности, то и сумма стала больше.

Поэтому последовательность $x_n$ возрастает.

Снова рассмотрим $s_k$, начиная со $2$ элемента, когда появляется первая скобка:

$$s_k=\frac{1}{k!}\cdot \frac{n}{n}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)\dots \left(1-\frac{k-1}{n}\right)$$

Каждая скобка меньше $1$. Поэтому, заменив все скобки на $1$, получаем неравенство:

$$s_k<\frac{1}{k!},k\ge 2$$

Сделаем подобную замену для всех $s_k$ в сумме, начиная с $s_2$:

$$\begin{gathered} x_n=s_0+s_1+s_2+s_3+\dots +s_n= \\ =1+1+s_2+s_3+\dots +s_n<1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\dots +\frac{1}{n!} \end{gathered}$$

Усилим неравенство заменив все дроби вида $\frac{1}{k!}$ на $\frac{1}{2^k}$, начиная с третьего члена суммы. Усилится оно потому, что в самом начале решения мы доказали, что

$$\frac{1}{k!}<\frac{1}{2^k},k\ge 3$$

$$\begin{gathered} x_n=s_0+s_1+s_2+s_3+\dots +s_n< \\ <1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\dots +\frac{1}{n!}<1+\left(1+\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2^2}+\dots +\frac{1}{2^{k-1}}\right) \end{gathered}$$

В скобках у нас получаеся сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии с знаменателем $\frac{1}{2}$ и первым членом, равным $1$. Воспользуемся формулой суммы членов геометрической прогрессии:

$$\left(1+\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2^2}+\dots +\frac{1}{2^{k-1}}\right)=\frac{1\cdot (\frac{1}{2^n}-1)}{\frac{1}{2}-1}=2\cdot \left(1-\frac{1}{2^n}\right)$$

Последняя скобка всегда меньше $1$, поэтому заменяем ее на $1$ и получаем, что

$$\left(1+\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2^2}+\dots +\frac{1}{2^{k-1}}\right)=2\cdot \left(1-\frac{1}{2^n}\right)<2$$

Возвращаемся обратно к нашей большой сумме:

$$\begin{gathered} x_n=s_0+s_1+s_2+s_3+\dots +s_n< \\ <1+1+\frac{1}{2!}+\dots +\frac{1}{n!}<1+\left(1+\frac{1}{2^1}+\dots +\frac{1}{2^{k-1}}\right)= \\ =1+2\cdot \left(1-\frac{1}{2^n}\right)<1+2=3 \end{gathered}$$

Наконец, получили верхнюю границу для $x_n$:

$$x_n<3$$

Итак, последовательность $x_n$ возрастает и ограничена сверху числом $3$. Любая монотонная и ограниченная последовательность имеет предел, а значит и $x_n$ имеет предел.

$■$

---

Мы показали, что последовательность $x_n$ имеет предел. Этот предел называют числом $e$:

$${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n=e\approx 2.71828$$