Точные грани

Рассмотрим подпоследовательность с четными номерами:

$$\begin{gathered} x_{2n}=1+2(-1{)}^{2n+1}+3\cdot (-1{)}^{\frac{2n(2n-1)}{2}}= \\ =1-2+3\cdot (-1{)}^{n(2n-1)} \end{gathered}$$

В зависимости от $n$ в последнем слагаемом будем получать либо $1$, либо $-1$, поэтому подпоследовательность может принимать только два значения:

$$x_{2n}=2\text{ или }-4$$

Рассмотрим подпоследовательность с нечетными номерами:

$$\begin{gathered} x_{2n+1}=1+2(-1{)}^{2(n+1)}+3\cdot (-1{)}^{\frac{(2n+1)2n}{2}}= \\ =1+2+3\cdot (-1{)}^{n(2n+1)} \end{gathered}$$

В зависимости от $n$ в последнем слагаемом будем получать либо $1$, либо $-1$, поэтому эта подпоследовательность, как и предыдущая, тоже может принимать только два значения:

$$x_{2n+1}=6\text{ или }0$$

Итак, последовательность $x_n$ принимает только $4$ значения. Поэтому

$$\sup x_n=6$$

$$\inf x_n=-4$$

Предельные точки

Рассмотрим подпоследовательность со номерами, дающими при делении на $4$ остаток $2$:

$$\begin{gathered} x_{4n+2}=1+2(-1{)}^{4n+3}+3\cdot (-1{)}^{\frac{(4n+2)(4n+1)}{2}}= \\ =1-2+3\cdot (-1{)}^{(2n+1)(4n+1)} \end{gathered}$$

В показателе степени последнего слагаемого имеем произведение двух нечетных чисел, в результате которого всегда получается нечетное число, поэтому:

$$x_{4n+2}=-4$$

Раз все члены этой подпоследовательности равны $-4$, то

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_{4n}=-4$$

Мы доказали, что $-4$ — предельная точка последовательности $x_n$. Но выше мы показали, что $-4$ — инфинум $x_n$. По прото-задаче П-ссылка это означает, что $-4$ — нижний предел последовательности $x_n$:

$$\underline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{x}_n=-4$$

Рассмотрим подпоследовательность со номерами, дающими при делении $4$ остаток $1$:

$$\begin{gathered} x_{4n+1}=1+2(-1{)}^{4n+2}+3\cdot (-1{)}^{\frac{(4n+1)4n}{2}}= \\ =1+2+3\cdot (-1{)}^{2n(4n+1)} \end{gathered}$$

В показателе степени последнего слагаемого имеем произведение четного и нечетного чисел, в результате которого всегда получается четное число, поэтому:

$$x_{4n+1}=6$$

Раз все члены этой подпоследовательности равны $6$, то

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_{4n+1}=6$$

Мы доказали, что $6$ — предельная точка последовательности $x_n$. Но выше мы показали, что $6$ — супремум $x_n$. По прото-задаче П-ссылка это означает, что $6$ — верхний предел последовательности $x_n$:

$$\overline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{x}_n=6$$