Демидович
104

Для последовательности найти , , и , если:

Ответ

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Указание

Для нахождения точных граней рассмотрите подпоследовательности с четными и нечетными номерами.

Для нахождения верхнего и нижнего пределов рассмотрите подпоследовательности с номерами, которые делятся на с определенными остатками.

Решение

Точные грани

Рассмотрим подпоследовательность с четными номерами:

В зависимости от в последнем слагаемом будем получать либо , либо , поэтому подпоследовательность может принимать только два значения:


Рассмотрим подпоследовательность с нечетными номерами:

В зависимости от в последнем слагаемом будем получать либо , либо , поэтому эта подпоследовательность, как и предыдущая, тоже может принимать только два значения:


Итак, последовательность принимает только значения. Поэтому

Предельные точки

Рассмотрим подпоследовательность со номерами, дающими при делении на остаток :

В показателе степени последнего слагаемого имеем произведение двух нечетных чисел, в результате которого всегда получается нечетное число, поэтому:

Раз все члены этой подпоследовательности равны , то

Мы доказали, что — предельная точка последовательности . Но выше мы показали, что — инфинум . По прото-задаче П.17 это означает, что — нижний предел последовательности :


Рассмотрим подпоследовательность со номерами, дающими при делении остаток :

В показателе степени последнего слагаемого имеем произведение четного и нечетного чисел, в результате которого всегда получается четное число, поэтому:

Раз все члены этой подпоследовательности равны , то

Мы доказали, что — предельная точка последовательности . Но выше мы показали, что — супремум . По прото-задаче П.17 это означает, что — верхний предел последовательности :

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Прото-задачи
Точные грани и предельные точки
Связь точной верхней (нижней) грани с предельными точками последовательности.