Будем просто повторять заданные в условии числа, то есть построенная последовательность $x_n$ будет иметь следующий вид:

$$a_1,a_2,\dots ,a_p,a_1,a_2,\dots ,a_p,a_1,\dots$$

Замечаем, что $a_1$ в построенной последовательности находится на $1$, $p+1$, $2p+1$ и так далее номерах. Аналогично, число $a_2$ находится на $2$, $p+2$, $2p+2$ и так далее номерах.

Итак, можно выделить $p$ подпоследовательностей, каждая из которых сходится к какому-то $a_i$ из условия:

$$\begin{gathered} \underset{n\to \infty }{\lim }{x}_{pn+1}=\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_1=a_1 \\ \underset{n\to \infty }{\lim }{x}_{pn+2}=\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_2=a_2 \\ \dots \\ \underset{n\to \infty }{\lim }{x}_{pn+(p-1)}=\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_p=a_p \end{gathered}$$

Итак, мы построили последовательность, которая имеет в качестве своих частичных пределов заданные в условии числа.