Частичный предел

$$\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{3}{4},\frac{1}{8},\frac{7}{8},\dots ,\frac{1}{2^n},\frac{2^n-1}{2^n},\dots$$

$$\begin{gathered} 1,\frac{1}{2},1+\frac{1}{2},\frac{1}{3},1+\frac{1}{3},\frac{1}{2}+\frac{1}{3},\frac{1}{4},1+\frac{1}{4},\frac{1}{2}+\frac{1}{4},\frac{1}{3}+\frac{1}{4}, \\ \frac{1}{5},\dots ,\frac{1}{n},1+\frac{1}{n},\frac{1}{2}+\frac{1}{n},\dots ,\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n},\frac{1}{n+1},\dots \end{gathered}$$

$$\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{1}{4},\frac{2}{4},\frac{3}{4},\frac{1}{5},\frac{2}{5},\frac{3}{5},\frac{4}{5},\dots$$

$$x_n=3\left(1-\frac{1}{n}\right)+2(-1{)}^n$$

$$x_n=\frac{1}{2}[(a+b)+(-1{)}^n(a-b)]$$

Построить пример числовой последовательности, имеющей в качестве своих частичных пределов числа

$$a_1,a_2,\dots ,a_p$$

Построить пример числовой последовательности, для которой все члены данной числовой последовательности

$$a_1,a_2,\dots ,a_n,\dots$$

являются ее частичными пределами. Какие еще частичные пределы обязательно имеет построенная последовательность?

Построить пример последовательности:

а) не имеющей конечных частичных пределов;
б) имеющей единственный конечный частичный предел, но не являющейся сходящейся;
в) имеющей бесконечное множество частичных пределов;
г) имеющей в качестве своего частичного предела каждое вещественное число.

Доказать, что последовательности $x_n$ и $y_n=x_n\sqrt[n]{n}(n=1,2,\dots )$ имеют одни и те же частичные пределы.