Демидович
122

Построить пример числовой последовательности, для которой все члены данной числовой последовательности

являются ее частичными пределами. Какие еще частичные пределы обязательно имеет построенная последовательность?

Ответ

Условию задачи удовлетворяет последовательность следующего вида:

Все частичные пределы последовательности из условия также будут частичными пределами последовательности выше.

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Решение

Построим следующую последовательность :

Попробуем построить подпоследовательность, которая сходится к . Для этого нужно взять следующие номера из :

Получаем подпоследовательность, которая состоит только из чисел , а значит она сходится к .

Итак, какое бы число мы не взяли, для него всегда можно построить подпоследовательность, которая состоит только из , то есть сходится к .


Пусть у последовательности из условия есть частичный предел, то есть из нее можно выделить какую-то сходящуюуся подпоследовательность

Покажем, что такую же подпоследовательность можно выделить и в нашей построенной последовательности . Для числа берем номер его первого появления в . Для числа также берем номер его первого появления в . В нашей последовательности, в силу того, как мы ее построили, первое появление числа будет строго за первым появлением числа , поэтому номера будут строго возрастать.

Например, если подпоследовательность начинается с

То для члена мы берем (а не !) член последовательности , а для -ой член.

Таким образом мы можем воспроизвести любую подпоследовательность из последовательности в условии.


Итак, любое является частичным пределом построенной . Помимо этого, любой частичный предел последовательности из условия также будет частичным пределом .

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!