Построим следующую последовательность $x_n$:

$$a_1,a_1,a_2,a_1,a_2,a_3,\dots$$

Попробуем построить подпоследовательность, которая сходится к $a_1$. Для этого нужно взять следующие номера из $x_n$:

$$1,2,4,7\dots$$

Получаем подпоследовательность, которая состоит только из чисел $a_1$, а значит она сходится к $a_1$.

Итак, какое бы число $a_i$ мы не взяли, для него всегда можно построить подпоследовательность, которая состоит только из $a_i$, то есть сходится к $a_i$.

---

Пусть у последовательности из условия есть частичный предел, то есть из нее можно выделить какую-то сходящуюуся подпоследовательность

$$a_{p_1},a_{p_2},\dots ,a_{p_n},\dots$$

Покажем, что такую же подпоследовательность можно выделить и в нашей построенной последовательности $x_n$. Для числа $a_{p_1}$ берем номер его первого появления в $x_n$. Для числа $a_{p_2}$ также берем номер его первого появления в $x_n$. В нашей последовательности, в силу того, как мы ее построили, первое появление числа $a_{i+1}$ будет строго за первым появлением числа $a_i$, поэтому номера будут строго возрастать.

Например, если подпоследовательность начинается с

$$a_2,a_3$$

То для $a_2$ члена мы берем $3$ (а не $5$!) член последовательности $x_n$, а для $a_3$ — $6$-ой член.

Таким образом мы можем воспроизвести любую подпоследовательность из последовательности в условии.

---

Итак, любое $a_i$ является частичным пределом построенной $x_n$. Помимо этого, любой частичный предел последовательности из условия также будет частичным пределом $x_n$.