Запишем, чему равен $x_{n+1}$

$$x_{n+1}=\frac{x_n+x_{n-1}}{2}$$

Вычтем из обеих частей $x_n$:

$$x_{n+1}-x_n=\frac{x_n+x_{n-1}}{2}-x_n=\frac{-x_n+x_{n-1}}{2}=\frac{x_n-x_{n-1}}{-2}$$

$$x_{n+1}-x_n=\frac{x_n-x_{n-1}}{-2}$$

Теперь применим то же равенство для $x_n-x_{n-1}$ и далее:

$$x_{n+1}-x_n=\frac{x_n-x_{n-1}}{-2}=\frac{x_{n-1}-x_{n-2}}{(-2)(-2)}=\dots =\frac{b-a}{(-2{)}^{n-1}}$$

Итак,

$$x_{n+1}-x_n=\frac{b-a}{(-2{)}^{n-1}}$$

Теперь запишем $x_n$ в виде:

$$x_n=\underset{a}{\underbrace{x_1}}+\underset{=\frac{b-a}{(-2{)}^0}}{\underbrace{(x_2-x_1)}}+\underset{=\frac{b-a}{(-2{)}^1}}{\underbrace{(x_3-x_2)}}+\dots +\underset{=\frac{b-a}{(-2{)}^{n-2}}}{\underbrace{(x_n-x_{n-1})}}$$

$$x_n=a+(b-a){\left(-\frac{1}{2}\right)}^0+(b-a){\left(-\frac{1}{2}\right)}^1+\dots +(b-a){\left(-\frac{1}{2}\right)}^{n-2}$$

Итак, сразу после слагаемого $a$ идет сумма $n-2$ членов геометрической прогрессии с первым членом, равным $b-a$ и знаменателем $-\frac{1}{2}$. Воспользуемся формулой для суммы:

$$S_{n-2}=\frac{(b-a)\left(1-\frac{1}{(-2{)}^{n-2}}\right)}{1-(-\frac{1}{2})}=\frac{(b-a)\left(1-\frac{1}{(-2{)}^{n-2}}\right)}{\frac{3}{2}}$$

$$S_{n-2}=\frac{(2b-2a)\left(1-\frac{1}{(-2{)}^{n-2}}\right)}{3}$$

Итак,

$$x_n=a+\frac{2b-2a}{3}\left(1-\frac{1}{(-2{)}^{n-2}}\right)$$

Найдем предел:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=a+\frac{2b-2a}{3}\left(1-\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{(-2{)}^{n-2}}\right)$$

По прото-задаче П-ссылка:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{(-2{)}^{n-2}}=\underset{n\to \infty }{\lim }4{\left(-\frac{1}{2}\right)}^n=0$$

Поэтому

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=a+\frac{2b-2a}{3}\left(1-0\right)=\frac{a+2b}{3}$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=\frac{a+2b}{3}$$