Доказать, что всякое непустое числовое множество, ограниченное снизу, имеет нижнюю грань, а всякое непустое числовое множество, ограниченное сверху, имеет верхнюю грань.
Доказывать надо для верхней грани, так как доказательство для нижней аналогичное.
Рассмотрите два случая:
- У множества есть наибольший элемент
- У множества нет наибольшего элемента
Для первого случая докажите, что наибольший элемент и является наименьшей верхней границей. Доказывать надо от противного.
Для второго случая введите два множества и . К отнесите все верхние границы , а к — все остальные числа. Докажите, что — сечение на вещественных числах.
Так как — сечение, то по основной теореме Дедекинда должно существовать вещественное число , которое это сечение порождает. Докажите, что является наименьшим числом в классе .
Докажем для верхней грани. Доказательство для нижней аналогичное.
Надо доказать, что всякое непустое числовое множество, ограниченное сверху, имеет верхнюю грань.
Обозначим само числовое множество за . Множество верхних границ будем обозначать за .
Рассмотрим два случая:
- У множества есть наибольший элемент
- У множества нет наибольшего элемента
Случай 1
Итак, в множестве есть наибольший . По определению это означает, что
Так как не меньше любого элемента из , то он же является одной из верхних границ множества .
Докажем, что он является наименьшей верхней границей, то есть является точной верхней гранью множества :
Докажем от противного. Пусть не наименьшая верхняя граница, значит существует .
Так как — верхняя граница, то он должен быть не меньше любого элемента из , в том числе не меньше , так как :
Получаем два противоречащих друг другу неравенства:
То есть, одновременно строго меньше и не меньше . Получили противоречие, а значит верно исходное предположение.
Итак, мы доказали, что
Случай 2
Пусть у нет наибольшего элемента. Тогда введем два множества: и . К отнесем все верхние границы множества . В множестве оставим все остальные вещественные числа.
Все числа из относятся к множеству . Если это было не так, и какой-то элемент принадлежал бы , то оказался бы верхней границей . Так как он принадлежит , то он оказался бы наибольшим элементом , а этот вариант уже был рассмотрен в Случае 1.
Докажем, что и образуют сечение на вещественных числах:
Докажем 1
Если бы это было не так, то существует какой-то элемент на пересечении и . Так как , то либо или (меньше любого элемента из ). Вариант с не сработает, так как выше мы показали, что все элементы лежат только в . Если , то получаем противоречающие друг другу неравенства:
Докажем 2
Докажем от противного. Путь это не так, и существует какой-то в , которого нет ни в , ни в . Если , то . Если , то . Если , то . Получается, что в любом из вариантов принадлежит либо , либо . Противоречие. Значет верно исходное предположение.
Докажем 3
Если , то либо , либо . Так как , то — верхняя граница , а значит (равенства, как мы показали выше тут быть не может), когда и уж тем более , когда .
Итак, мы доказали, что множества и образуют сечение на вещественных числах. По основной теореме Дедекинда должно существовать вещественное число , задающее это сечение.
Есть два варианта:
- является наибольшим элементом класса
- является наименьшим элементом класса
Покажем, что вариант 1 приводит к противоречию. Докажем от противного. Пусть и является наибольшим элементом класса :
Раз , то не меньше любого элемента из :
Получается, что — верхняя граница , а значит . Получили противоречие, так как , как мы показали выше, не может находится на пересечении и .
Значит, остается единственный верный вариант — является наименьшим элементом класса . Так как класс — множество всех верхних граней , то является наименьшей верхней гранью.