Демидович
15

Доказать, что всякое непустое числовое множество, ограниченное снизу, имеет нижнюю грань, а всякое непустое числовое множество, ограниченное сверху, имеет верхнюю грань.

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Указание

Доказывать надо для верхней грани, так как доказательство для нижней аналогичное.

Рассмотрите два случая:

  1. У множества есть наибольший элемент
  2. У множества нет наибольшего элемента

Для первого случая докажите, что наибольший элемент и является наименьшей верхней границей. Доказывать надо от противного.

Для второго случая введите два множества и . К отнесите все верхние границы , а к — все остальные числа. Докажите, что — сечение на вещественных числах.

Так как — сечение, то по основной теореме Дедекинда должно существовать вещественное число , которое это сечение порождает. Докажите, что является наименьшим числом в классе .

Решение

Докажем для верхней грани. Доказательство для нижней аналогичное.

Надо доказать, что всякое непустое числовое множество, ограниченное сверху, имеет верхнюю грань.

Обозначим само числовое множество за . Множество верхних границ будем обозначать за .

Рассмотрим два случая:

  1. У множества есть наибольший элемент
  2. У множества нет наибольшего элемента

Случай 1

Итак, в множестве есть наибольший . По определению это означает, что

Так как не меньше любого элемента из , то он же является одной из верхних границ множества .

Докажем, что он является наименьшей верхней границей, то есть является точной верхней гранью множества :

Докажем от противного. Пусть не наименьшая верхняя граница, значит существует .

Так как — верхняя граница, то он должен быть не меньше любого элемента из , в том числе не меньше , так как :

Получаем два противоречащих друг другу неравенства:

То есть, одновременно строго меньше и не меньше . Получили противоречие, а значит верно исходное предположение.

Итак, мы доказали, что

Случай 2

Пусть у нет наибольшего элемента. Тогда введем два множества: и . К отнесем все верхние границы множества . В множестве оставим все остальные вещественные числа.

Все числа из относятся к множеству . Если это было не так, и какой-то элемент принадлежал бы , то оказался бы верхней границей . Так как он принадлежит , то он оказался бы наибольшим элементом , а этот вариант уже был рассмотрен в Случае 1.

Докажем, что и образуют сечение на вещественных числах:

Докажем 1

Если бы это было не так, то существует какой-то элемент на пересечении и . Так как , то либо или (меньше любого элемента из ). Вариант с не сработает, так как выше мы показали, что все элементы лежат только в . Если , то получаем противоречающие друг другу неравенства:

Докажем 2

Докажем от противного. Путь это не так, и существует какой-то в , которого нет ни в , ни в . Если , то . Если , то . Если , то . Получается, что в любом из вариантов принадлежит либо , либо . Противоречие. Значет верно исходное предположение.

Докажем 3

Если , то либо , либо . Так как , то — верхняя граница , а значит (равенства, как мы показали выше тут быть не может), когда и уж тем более , когда .

Итак, мы доказали, что множества и образуют сечение на вещественных числах. По основной теореме Дедекинда должно существовать вещественное число , задающее это сечение.

Есть два варианта:

  1. является наибольшим элементом класса
  2. является наименьшим элементом класса

Покажем, что вариант 1 приводит к противоречию. Докажем от противного. Пусть и является наибольшим элементом класса :

Раз , то не меньше любого элемента из :

Получается, что — верхняя граница , а значит . Получили противоречие, так как , как мы показали выше, не может находится на пересечении и .

Значит, остается единственный верный вариант — является наименьшим элементом класса . Так как класс — множество всех верхних граней , то является наименьшей верхней гранью.

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!