Докажем для верхней грани. Доказательство для нижней аналогичное.

Надо доказать, что всякое непустое числовое множество, ограниченное сверху, имеет верхнюю грань.

Обозначим само числовое множество за $X$. Множество верхних границ будем обозначать за $\left\{M\right\}$.

Рассмотрим два случая:

1. У множества $X$ есть наибольший элемент
2. У множества $X$ нет наибольшего элемента

Случай 1

Итак, в множестве $X$ есть наибольший $x^{\prime }$. По определению это означает, что

$$\forall x\in X:x\le x^{\prime }$$

Так как $x^{\prime }$ не меньше любого элемента из $X$, то он же является одной из верхних границ множества $X$.

Докажем, что он является наименьшей верхней границей, то есть является точной верхней гранью множества $X$:

$$x^{\prime }=\sup X$$

Докажем от противного. Пусть $x^{\prime }$ не наименьшая верхняя граница, значит существует $x^{\prime \prime }<x^{\prime }$.

Так как $x^{\prime \prime }$ — верхняя граница, то он должен быть не меньше любого элемента из $X$, в том числе не меньше $x^{\prime }$, так как $x^{\prime }\in X$:

Получаем два противоречащих друг другу неравенства:

$$x^{\prime \prime }<x^{\prime }{x}^{\prime }\le x^{\prime \prime }$$

То есть, $x^{\prime \prime }$ одновременно строго меньше и не меньше $x^{\prime }$. Получили противоречие, а значит верно исходное предположение.

Итак, мы доказали, что

$$x^{\prime }=\sup X$$

$■$

Случай 2

Пусть у $X$ нет наибольшего элемента. Тогда введем два множества: $A$ и $A^{\prime }$. К $A^{\prime }$ отнесем все верхние границы множества $X$. В множестве $A$ оставим все остальные вещественные числа.

Все числа из $X$ относятся к множеству $A$. Если это было не так, и какой-то элемент $x^{\prime }$ принадлежал бы $A^{\prime }$, то $x^{\prime }$ оказался бы верхней границей $X$. Так как он принадлежит $X$, то он оказался бы наибольшим элементом $X$, а этот вариант уже был рассмотрен в Случае 1.

Докажем, что $A$ и $A^{\prime }$ образуют сечение $A/A^{\prime }$ на вещественных числах:

1. $A\cap A^{\prime }=\varnothing$
2. $A\cup A=\mathbb{R}$
3. $\forall a\in A,a^{\prime }\in A^{\prime }:a<a^{\prime }$

Докажем 1

Если бы это было не так, то существует какой-то элемент $t$ на пересечении $A$ и $A^{\prime }$. Так как $t\in A$, то либо $t\in X$ или $t<X$ (меньше любого элемента из $X$). Вариант с $t\in X$ не сработает, так как выше мы показали, что все элементы $X$ лежат только в $A$. Если $t<X$, то получаем противоречающие друг другу неравенства: $$\forall x\in X:t<x\text{ и }x\le t$$

Докажем 2

Докажем от противного. Путь это не так, и существует какой-то $t$ в $\mathbb{R}$, которого нет ни в $A$, ни в $A^{\prime }$. Если $t\in X$, то $t\in A$. Если $t<X$, то $t\in A$. Если $t\ge X$, то $t\in A^{\prime }$. Получается, что в любом из вариантов $t$ принадлежит либо $A$, либо $A^{\prime }$. Противоречие. Значет верно исходное предположение.

Докажем 3

Если $a\in A$, то либо $a\in X$, либо $a<X$. Так как $a^{\prime }\in A^{\prime }$, то $a^{\prime }$ — верхняя граница $X$, а значит $a^{\prime }>a$ (равенства, как мы показали выше тут быть не может), когда $a\in X$ и уж тем более $a^{\prime }>a$, когда $a<X$.

Итак, мы доказали, что множества $A$ и $A^{\prime }$ образуют сечение $A/A^{\prime }$ на вещественных числах. По основной теореме Дедекинда должно существовать вещественное число $\beta$, задающее это сечение.

Есть два варианта:

1. $\beta$ является наибольшим элементом класса $A$
2. $\beta$ является наименьшим элементом класса $A^{\prime }$

Покажем, что вариант 1 приводит к противоречию. Докажем от противного. Пусть $\beta \in A$ и является наибольшим элементом класса $A$:

$$\forall a\in A:a\le \beta$$

Раз $a\le \beta$, то $\beta$ не меньше любого элемента из $X$:

$$\forall x\in X:x\le \beta$$

Получается, что $\beta$ — верхняя граница $X$, а значит $\beta \in A^{\prime }$. Получили противоречие, так как $\beta$, как мы показали выше, не может находится на пересечении $A$ и $A^{\prime }$.

Значит, остается единственный верный вариант — $\beta$ является наименьшим элементом класса $A^{\prime }$. Так как класс $A^{\prime }$ — множество всех верхних граней $X$, то $\beta$ является наименьшей верхней гранью.

$$\beta =\sup X$$

$■$