Верхние и нижние грани

Доказать, что всякое непустое числовое множество, ограниченное снизу, имеет нижнюю грань, а всякое непустое числовое множество, ограниченное сверху, имеет верхнюю грань.

Показать, что множество всех правильных рациональных дробей $\frac{m}{n}$, где $m$ и $n$ — натуральные числа и $0<m<n$, не имеет наименьшего и наибольшего элементов. Найти нижнюю и верхнюю грани этого множества.

Определить нижнюю и верхнюю грани множества рациональных чисел $r$, удовлетворяющих неравенству

$$r^2<2$$

Пусть $\left\{-x\right\}$ — множество чисел, противоположных числам $x\in \left\{x\right\}$. Доказать, что:

$$\text{а) }\inf \left\{-x\right\}=-\sup \left\{x\right\};\text{б) }\sup \left\{-x\right\}=-\inf \left\{x\right\}$$

Пусть $\left\{x+y\right\}$ есть множество всех сумм $x+y$, где $x\in \left\{x\right\}$ и $y\in \left\{y\right\}$. Доказать равенства:

$$\begin{array}{rl}& \text{а) }\inf \left\{x+y\right\}=\inf \left\{x\right\}+\inf \left\{y\right\};\\ & \text{б) }\sup \left\{x+y\right\}=\sup \left\{x\right\}+\sup \left\{y\right\}.\end{array}$$

Пусть $\left\{xy\right\}$ есть множество всех произведений $xy$, где $x\in \left\{x\right\}$ и $y\in \left\{y\right\}$, причем $x\ge 0$ и $y\ge 0$. Доказать равенства:

$$\text{а) }\inf \left\{xy\right\}=\inf \left\{x\right\}\inf \left\{y\right\};\text{б) }\sup \left\{xy\right\}=\sup \left\{x\right\}\sup \left\{y\right\}$$