§1. Вещественные числа

$$1+2+\dots +n=\frac{n(n+1)}{2}$$

$$1^2+2^2+\dots +n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

$$1^3+2^3+\dots +n^3=(1+2+3+\dots +n{)}^2$$

$$1+2+2^2+\dots +2^{n-1}=2^n-1$$

Пусть

$$a^{\left[n\right]}=a(a-h)\dots \left[a-(n-1)h\right]\text{ и }{a}^{\left[0\right]}=1.$$

Доказать, что

$$(a+b{)}^{\left[n\right]}=\sum _{m=0}^n{C}_n^m{a}^{\left[n-m\right]}{b}^{\left[m\right]},$$

где $C_n^m$ — число сочетаний из $n$ элементов по $m$. Вывести отсюда формулу бинома Ньютона.

Доказать неравенство Бернулли:

$$(1+x_1)(1+x_2)\dots (1+x_n)⩾1+x_1+x_2+\dots +x_n,$$

где $x_1,x_2,\dots ,x_n$ — числа одного и того же знака, большие $-1$.

Доказать, что если $x>-1$, то справедливо неравенство

$$(1+x{)}^n⩾1+nx(n>1),$$

причем знак равенства имеет место лишь при $x=0$.

Доказать неравенство

$$n!<{\left(\frac{n+1}{2}\right)}^n\text{ при }n>1$$

Доказать неравенство:

$$\begin{gathered} \text{а) }2!\cdot 4!\dots (2n)!>{\left[(n+1)!\right]}^n\text{ при }n>1 \\ \text{б) }\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\dots \frac{2n-1}{2n}<\frac{1}{\sqrt{2n+1}} \end{gathered}$$

Доказать неравенства:

$$\text{а) }1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\dots +\frac{1}{\sqrt{n}}>\sqrt{n}(n⩾2);$$

$$\text{б) }{n}^{n+1}>(n+1{)}^n(n⩾3);$$

$$\text{в) }\left|\sin \left(\sum _{k=1}^n{x}_k\right)\right|⩽\sum _{k=1}^n\sin x_k(0⩽x_k⩽\pi ;k=1,2,\dots ,n);$$

$$\text{г) }(2n)!<2^{2n}(n!{)}^2$$

Пусть $c$ — положительное число, не являющееся точным квадратом целого числа, и $A/B$ — сечение, определяющее вещественное число $\sqrt{c}$, где в класс $B$ входят все положительные рациональные числа $b$ такие, что $b^2>c$, а в классе $A$ — все остальные рациональные числа. Доказать, что в классе $A$ нет наибольшего числа, а в классе $B$ нет наименьшего числа.

Сечение $A/B$, определяющее число $\sqrt[3]{2}$, строится следующим образом: класс $A$ содержит все рациональные числа $a$ такие, что $a^3<2$; класс $B$ содержит все остальные рациональные числа. Доказать, что в классе $A$ нет наибольшего числа, а в классе $B$ — наименьшего.

Построив соответствующие сечения, доказать равенства:

$$\text{а) }\sqrt{2}+\sqrt{8}=\sqrt{18};\text{б) }\sqrt{2}\sqrt{3}=\sqrt{6}$$

Построить сечение, определяющее число $2^{\sqrt{2}}$.

Доказать, что всякое непустое числовое множество, ограниченное снизу, имеет нижнюю грань, а всякое непустое числовое множество, ограниченное сверху, имеет верхнюю грань.

Показать, что множество всех правильных рациональных дробей $\frac{m}{n}$, где $m$ и $n$ — натуральные числа и $0<m<n$, не имеет наименьшего и наибольшего элементов. Найти нижнюю и верхнюю грани этого множества.

Определить нижнюю и верхнюю грани множества рациональных чисел $r$, удовлетворяющих неравенству

$$r^2<2$$

Пусть $\left\{-x\right\}$ — множество чисел, противоположных числам $x\in \left\{x\right\}$. Доказать, что:

$$\text{а) }\inf \left\{-x\right\}=-\sup \left\{x\right\};\text{б) }\sup \left\{-x\right\}=-\inf \left\{x\right\}$$

Пусть $\left\{x+y\right\}$ есть множество всех сумм $x+y$, где $x\in \left\{x\right\}$ и $y\in \left\{y\right\}$. Доказать равенства:

$$\begin{array}{rl}& \text{а) }\inf \left\{x+y\right\}=\inf \left\{x\right\}+\inf \left\{y\right\};\\ & \text{б) }\sup \left\{x+y\right\}=\sup \left\{x\right\}+\sup \left\{y\right\}.\end{array}$$

Пусть $\left\{xy\right\}$ есть множество всех произведений $xy$, где $x\in \left\{x\right\}$ и $y\in \left\{y\right\}$, причем $x\ge 0$ и $y\ge 0$. Доказать равенства:

$$\text{а) }\inf \left\{xy\right\}=\inf \left\{x\right\}\inf \left\{y\right\};\text{б) }\sup \left\{xy\right\}=\sup \left\{x\right\}\sup \left\{y\right\}$$

Доказать неравенства:

$$\begin{array}{rl}& \text{а) }|x-y|\ge ||x|-|y||;\\ & \text{б) }|x+x_1+\dots +x_n|\ge |x|-(|x_1|+\dots +|x_n|)\end{array}$$

$$|x+1|<0.01$$

$$|x-2|\ge 10$$

$$|x|>|x+1|$$

$$|2x-1|<|x-1|$$

$$|x+2|+|x-2|\le 12$$

$$|x+2|-|x|>1$$

$$||x+1|-|x-1||<1$$

$$|x(1-x)|<0.05$$

Доказать тождество

$${\left(\frac{x+|x|}{2}\right)}^2+{\left(\frac{x-|x|}{2}\right)}^2=x^2$$

При измерении длины в $10$см абсолютная погрешность составляла $0.5$мм; при измерении расстояния в $500$км абсолютная погрешность была равна $200$м. Какое измерение точнее?

Определить, сколько верных знаков содержит число

$$x=2.3752,$$

если относительная погрешность этого числа составляет $1\%$.

Число

$$x=12.125$$

содержит $3$ верных знака. Определить, какова относительная погрешность этого числа.

Стороны прямоугольника равны:

$$\begin{gathered} x=2.50\text{ см}\pm 0.01\text{ см}, \\ y=4.00\text{ см}\pm 0.02\text{ см}. \end{gathered}$$

В каких границах заключается площадь $S$ этого прямоугольника? Каковы абсолютная погрешность $\Delta$ и относительная погрешность $\delta$ площади прямоугольника, если за стороны его принять средние значения?

Масса тела $m=12.59\text{ г}\pm 0.01\text{ г}$, а его объем $V=3.2{\text{ см}}^3\pm 0.2{\text{ см}}^3$. Определить плотность тела и оценить абсолютную и относительную погрешности плотности, если за массу тела и его объем принять средние значения.

Радиус круга $$r=7.2\text{ м}\pm 0.1\text{ м}.$$

С какой минимальной относительной погрешностью может быть определена площадь круга, если принять $\pi =3.14$?

Известны измерения прямоугольного параллелепипеда:

$$\begin{gathered} x=24.7\text{ м}\pm 0.2\text{ м}, \\ y=6.5\text{ м}\pm 0.1\text{ м}, \\ z=1.2\text{ м}\pm 0.1\text{ м}. \end{gathered}$$

В каких границах заключается объем $V$ этого параллелепипеда? С какими абсолютной и относительной погрешностями может быть определен объем этого параллелепипеда, если за его измерения принять средние значения?

С какой абсолютной погрешностью следует измерить сторону квадрата $x$, где $2\text{ м}<x<3\text{ м}$, чтобы иметь возможность определить площадь этого квадрата с точностью до $0.001{\text{ м}}^2$?

С какими абсолютными погрешностями $\Delta$ достаточно измерить стороны $x$ и $y$ прямоугольника, чтобы площадь его можно было вычислить с точностью до $0.01{\text{ м}}^2$, если ориентировочно стороны прямоугольника не превышают $10\text{ м}$ каждая?

Пусть $\delta (x)$ и $\delta (y)$ — относительные погрешности чисел $x$ и $y$, $\delta (xy)$ — относительная погрешность числа $xy$. Доказать, что

$$\delta (xy)\le \delta (x)+\delta (y)+\delta (x)\delta (y)$$