Демидович
16

Показать, что множество всех правильных рациональных дробей , где и — натуральные числа и , не имеет наименьшего и наибольшего элементов. Найти нижнюю и верхнюю грани этого множества.

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Указание

Доказывать надо для верхней грани, так как доказательство для нижней аналогичное.

Рассмотрите два случая:

  1. У множества есть наибольший элемент
  2. У множества нет наибольшего элемента

Для первого случая докажите, что наибольший элемент и является наименьшей верхней границей. Доказывать надо от противного.

Для второго случая введите два множества и . К отнесите все верхние границы , а к — все остальные числа. Докажите, что — сечение на вещественных числах.

Так как — сечение, то по основной теореме Дедекинда должно существовать вещественное число , которое это сечение порождает. Докажите, что является наименьшим числом в классе .

Решение

Докажем, что нет наибольшего элемента. Докажем от противного. Пусть есть какая-то наибольшая дробь . Рассмотрим такую дробь:

Эта дробь немного больше, чем . Докажем, что она правильная, то есть:

По условию нам известно, что . Так как и — натуральные числа, верно неравенство:

Поэтому достаточно показать верность неравенства при , тогда оно будет выполняться и для всех меньших :

Итак, докажем, что

Мы показали, что

то есть дробь не является наибольшей. Получили противоречие.

Итак, мы показали, что не существует наибольшей правильной дроби.

Доказательство того, что не существует наименьшего элемента, производится аналогично. Для этого надо лишь рассмотреть дробь:


Обозначим рассматриваемое множество правильных дробей за :

Докажем, что — точная верхняя грань множества :

Для этого надо доказать два пункта:

Доказательство п.1

Докажем, что

То есть, какую бы правильную дробь мы не взяли, она всегда будет строго меньше .

Рассмотрим произвольный элемент . Это некоторая правильная дробь . Докажем, что она меньше :

Домножим обе части на :

Это верное неравенство, так как это и есть часть определения правильной дроби (это также приведено в условии этой задачи).

Доказательство п.2

Докажем, что

То есть, если мы уменьшим на на какую-то произвольно маленькую величину , то найдется такая правильная дробь, которая будет больше .

Если , то . Поэтому любая правильная дробь и будет тем самым , так как любая правильная дробь — положительное число.

Теперь рассмотрим случай, когда . Тогда:

Если — рациональное число, то оно является правильной дробью, которую можно представить в виде

В начале решения мы доказали, что у множества правильных дробей нет наибольшего элемента, поэтому за можно взять следующую дробь:

Если — иррациональное число, то есть какое-то сечение в рациональных числах, которое и определяет число .

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!