Арксинус является обратной тригонометрической функцией синуса, то есть в качестве переменной принимает значения синуса и на выходе получаем угол.

Из определения синуса его значения всегда лежат в пределах от $-1$ до $1$ включительно:

$$-1\le 1-x\le 1$$

Умножим все части на $-1$:

$$-1\le x-1\le 1$$

Прибавим $1$ ко всем частям:

$$0\le x\le 2$$

По определению логарифма, должно выполняться неравенство

$$\lg x>0$$

Представим обе части как показатели степени с основанием 10 (знак неравенства не поменяется, так как основание больше $1$):

$$10^{\lg x}>10^0$$

$$x>1$$

Получили два неравенства:

$$0\le x\le 2$$

$$1<x$$

Пересечение этих неравенств и будет областью определения функции $y$:

$$1<x\le 2$$