§3. Понятие функции

$$y=\frac{x^2}{1+x}$$

$$y=\sqrt{3x-x^3}$$

$$y=(x-2)\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$$

$$\text{а) }y=\log (x^2-4);\text{б) }y=\log (x+2)+\log (x-2)$$

$$y=\sqrt{\sin (\sqrt{x})}$$

$$y=\sqrt{\cos x^2}$$

$$y=\frac{\sqrt{x}}{\sin \pi x}$$

$$y=\arcsin \frac{2x}{1+x}$$

$$y=\arccos (2\sin x)$$

$$y=\lg [\cos (\lg x)]$$

$$y=(x+|x|)\sqrt{x{\sin }^2\pi x}$$

$$y=\mathrm{ctg}\pi x+\arccos (2^x)$$

$$y=\arcsin (1-x)+\lg (\lg x)$$

$$\begin{array}{rl}& \text{а) }y=(2x)!;\text{б) }y={\log }_2{\log }_3{\log }_{4}x;\text{в) }y=\sqrt[4]{\lg \mathrm{tg}x}.\\ & \text{г) }y=\sqrt{\sin 2x}+\sqrt{\sin 3x}(0\le x\le 2\pi )\end{array}$$

В треугольник $ABC$ (см. рисунок), основание которого $AC=b$ и высота $BD=h$, вписан прямоугольник $KLMN$, высота которого $NM=x$. Выразить периметр $P$ прямоугольника $KLMN$ и его площадь $S$ как функции от $x$.

Построить графики функций $P=P(x)$ и $S=S(x)$.

В треугольнике $ABC$ сторона $AB=6\text{ см}$, сторона $AC=8\text{ см}$ и угол $BAC=x$. Выразить $BC=a$ и площадь $S$ треугольника $ABC$ как функции переменной $x$. Построить графики функций $a=a(x)$ и $S=S(x)$.

В равнобедренной трапеции $ABCD$ (см. рисунок), основания которой $AD=a$ и $BC=b$ $(a>b)$, а высота $HB=h$, проведена прямая $MN\parallel HB$ и отстоящая от вершины $A$ на расстоянии $AM=x$. Выразить площадь $S$ фигуры $ABNM$ как функцию переменной $x$. Построить график функции: $S=S(x)$.

На сегменте $0\le x\le 1$ оси $Ox$ равномерно распределена масса, равная $2\text{ г}$, а в точках этой оси $x=2$ и $x=3$ находятся сосредоточенные массы по $1\text{ г}$ в каждой. Составить аналитическое выражение функции $m=m(x)(-\infty <x<+\infty )$, численно равной массе, находящейся в интервале $(-\infty ,x)$, и построить график этой функции.

Функция $y=\mathrm{sgn}x$ определяется следующим образом:

$$\mathrm{sgn}x=\{\begin{array}{ll}-1,& \text{если }x<0;\\ 0,& \text{если }x=0;\\ 1,& \text{если }x>0.\end{array}$$

Построить график этой функции. Показать, что

$$|x|=x\mathrm{sgn}x.$$

Функция $y=[x]$ (целая часть числа $x$) определяется следующим образом: если $x=n+r$, где $n$ — целое число и $0\le r<1$, то $[x]=n$. Построить график этой функции.

Пусть

$$y=\pi (x)(x⩾0)$$

обозначает число простых чисел, не превышающих числа $x$. Построить график этой функции для значений аргумента $0⩽x⩽20$.

$$y=x^2,E_x=\left\{-1⩽x⩽2\right\}$$

$$y=\lg x,E_x=\left\{10<x<1000\right\}$$

$$y=\frac{1}{\pi }\mathrm{arcctg}x,E_x=\left\{-\infty <x<+\infty \right\}$$

$$y=\mathrm{ctg}\frac{\pi x}{4},E_x=\left\{0<|x|⩽1\right\}$$

$$y=|x|,E_x=\left\{1⩽|x|⩽2\right\}$$

$$y=a+(b-a)x$$

$$y=\frac{1}{1-x}$$

$$y=\frac{x}{2x-1}$$

$$y=\sqrt{x-x^2}$$

$$y=\mathrm{ctg}\pi x$$

$$y=x+[2x]$$

Найти $f(0)$, $f(1)$, $f(2)$, $f(3)$, $f(4)$, если

$$f(x)=x^4-6x^3+11x^2-6x$$

Найти $f(-1)$, $f(-0,001)$, $f(100)$, если

$$f(x)=\lg x^2$$

Найти $f(0,9)$, $f(0,99)$, $f(0,999)$, $f(1)$, если

$$f(x)=1+[x]$$

Найти $f(-2)$, $f(-1)$, $f(0)$, $f(1)$, $f(2)$, если

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}1+x& \text{ при }-\infty <x⩽0,\\ 2^x& \text{ при }0<x<+\infty .\end{array}$$

Найти $f(0)$, $f(-x)$, $f(x+1)$, $f(x)+1$, $f\left(\frac{1}{x}\right)$, $\frac{1}{f(x)}$, если

$$f(x)=\frac{1-x}{1+x}$$

Найти значения $x$, для которых: 1) $f(x)=0;$ 2) $f(x)>0;$ 3) $f(x)<0$, если:

$$\text{а) }f(x)=x-x^2;\text{б) }f(x)=\sin \frac{\pi }{x};\text{в) }f(x)=(x+|x|)(1-x)$$

Найти $\phi (x)=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$, если:

$$\text{а) }f(x)=ax+b;\text{б) }f(x)=x^2;\text{в) }f(x)=a^x$$

Пусть

$$f(x)=a{x}^2+bx+c$$

Показать, что

$$f(x+3)-3f(x+2)+3(f+1)-f(x)\equiv 0$$

Найти целую линейную функцию

$$f(x)=ax+b,$$

если $f(0)=-2$ и $f(3)=5$.

Чему равны $f(1)$ и $f(2)$ (линейная интерполяция)?

Найти целую рациональную функцию второй степени:

$$f(x)=a{x}^2+bx+c,$$

если $f(-2)=0,f(0)=1,f(1)=5$.

Чему равны $f(-1)$ и $f(0,5)$ (квадратичная интерполяция)?

Найти целую рациональную функцию третьей степени:

$$f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d,$$

если $f(-1)=0$, $f(0)=2$, $f(1)=-3$, $f(2)=5$.

Найти функцию вида

$$f(x)=a+b{c}^x,$$

если $f(0)=15$, $f(2)=30$, $f(4)=90$.

Доказать, что если для линейной функции

$$f(x)=ax+b$$

значения аргумента $x=x_n(n=1,2,\dots )$ образуют арифметическую прогрессию, то соответствующие значения функции $y_n=f(x_n)(n=1,2,\dots )$ образуют также арифметическую прогрессию.

Доказать, что если для показательной функции

$$f(x)=a^x(a>0)$$

значения аргумента $x=x_n(n=1,2,\dots )$ образуют арифметическую прогрессию, то соответствующие значения функции $y_n=f(x_n)(n=1,2,\dots )$ образуют геометрическую прогрессию.

Пусть функция $f(u)$ определена при $0<u<1$. Найти области определения функций:

$$\text{а) }f(\sin x);\text{б) }f(\ln x);\text{в) }f\left(\frac{[x]}{x}\right)$$

Пусть

$$f(x)=\frac{1}{2}(a^x+a^{-x})(a>0)$$

Показать, что

$$f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)$$

Пусть

$$f(x)+f(y)=f(z)$$

Определить $z$, если:

$$\begin{array}{ll}\text{а) }f(x)=ax;& \text{б) }f(x)=\frac{1}{x};\\ \text{в) }f(x)=\mathrm{arctg}x|x|<1;& \text{г) }f(x)=\log \frac{1+x}{1-x}.\end{array}$$

$$\varphi (x)=x^2\text{ и }\psi (x)=2^x$$

$$\varphi (x)=\mathrm{sgn}x\text{ и }\psi (x)=\frac{1}{x}$$

$$\varphi (x)=\{\begin{array}{l}0\text{ при }x⩽0,\\ x\text{ при }x>0\end{array}\text{ и }\psi (x)=\{\begin{array}{l}0\text{ при }x⩽0,\\ -x^2\text{ при }x>0\end{array}$$

Найти $f[f(x)]$, $f\{f[f(x)]\}$, если $f(x)=\frac{1}{1-x}$.

Пусть

$$f_n(x)=f(f(\dots f(x)))$$

Найти $f_n(x)$, если $f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$.

Найти $f(x)$, если

$$f(x+1)=x^2-3x+2$$

Найти $f(x)$, если

$$f\left(1+\frac{1}{x}\right)=x^2+\frac{1}{x^2}\left(|x|⩾2\right)$$

1. Найти $f(x)$, если

$$f\left(\frac{1}{x}\right)=x+\sqrt{1+x^2}(x>0)$$

2. Найти $f(x)$, если

$$f\left(\frac{x}{x+1}\right)=x^2$$

$$f(x)=x^2(0⩽x<+\infty )$$

$$f(x)=\sin x\left(-\frac{\pi }{2}⩽x⩽\frac{\pi }{2}\right)$$

$$f(x)=\mathrm{tg}x\left(-\frac{\pi }{2}<x<\frac{\pi }{2}\right)$$

$$f(x)=2x+\sin x(-\infty <x<+\infty )$$

$$f(x)=x^2(-\infty <x⩽0)$$

$$f(x)=\cos x(0⩽x⩽\pi )$$

$$f(x)=\mathrm{ctg}x(0<x<\pi )$$

Исследовать на монотонность следующие функции:

$$\begin{array}{rlrl}& \text{а) }f(x)=ax+b;& & \text{б) }f(x)=a{x}^2+bx+c;\\ & \text{в) }f(x)=x^3;& & \text{г) }f(x)=\frac{ax+b}{cx+d};\\ & \text{д) }f(x)=a^x(a>0).& & \end{array}$$

Можно ли почленно логарифмировать неравенство?

Пусть $\varphi (x),\psi (x)$ и $f(x)$ — монотонно возрастающие функции. Доказать, что если

$$\varphi (x)⩽f(x)⩽\psi (x),$$

то

$$\varphi [\varphi (x)]⩽f[f(x)]⩽\psi [\psi (x)]$$

$$y=2x+3(-\infty <x<+\infty )$$

$$y=x^2;\text{а) }-\infty <x⩽0;\text{ б) }0⩽x<+\infty$$

$$y=\frac{1-x}{1+x}(x\ne -1)$$

$$y=\sqrt{1-x^2};\text{ а) }-1⩽x⩽0;\text{ б) }0⩽x⩽1$$

$$y=\mathrm{sh}x,\text{ где }\mathrm{sh}x=\frac{1}{2}(e^x-e^{-x})(-\infty <x<+\infty )$$

$$y=\mathrm{th}x,\text{ где }\mathrm{th}x=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}(-\infty <x<+\infty )$$

$$y=\{\begin{array}{ll}x,& \text{если }-\infty <x<1;\\ x^2,& \text{если }1⩽x⩽4;\\ 2^x,& \text{если }4<x<+\infty \end{array}$$

Функция $f(x)$, определенная в симметричном интервале $(-l,l)$, называется четной, если

$$f(-x)\equiv f(x);$$

и нечетной, если

$$f(-x)\equiv -f(x).$$

Определить, какие из данных функций $f(x)$ являются четными, а какие нечетными:

$$\begin{array}{rlrl}& \text{а) }f(x)=3x-x^3;& & \text{б) }f(x)=\sqrt[3]{(1-x{)}^2}+\sqrt[3]{(1+x{)}^2};\\ & \text{в) }f(x)=a^x+a^{-x}(a>0);& & \text{г) }f(x)=\ln \frac{1-x}{1+x};\\ & \text{д) }f(x)=\ln (x+\sqrt{1+x^2}).& & \end{array}$$

Доказать, что всякую функцию $f(x)$, определенную в симметричном интервале $(-l,l)$, можно представить в виде суммы четной и нечетной функций.

Функция $f(x)$, определенная на множестве $E$, называется периодической, если существует число $T>0$ (период функции — в широком смысле слова!) такое, что

$$f(x\pm T)=f(x)\text{ при }x\in E$$

Выяснить, какие из данных функций являются периодическими, и определить наименьший период их, если:

$$\begin{array}{rlrl}& \text{а) }f(x)=A\cos \lambda x+B\sin \lambda x;& & \\ & \text{б) }f(x)=\sin x+\frac{1}{2}\sin 2x+\frac{1}{3}\sin 3x;& & \\ & \text{в) }f(x)=2\mathrm{tg}\frac{x}{2}-3\mathrm{tg}\frac{x}{3};& & \text{г) }f(x)={\sin }^{2}x;\\ & \text{д) }f(x)=\sin x^2;& & \text{е) }f(x)=\sqrt{\mathrm{tg}x};\\ & \text{ж) }f(x)=\mathrm{tg}\sqrt{x};& & \text{з) }f(x)=\sin x+\sin (x\sqrt{2})\end{array}$$

Доказать, что для функции Дирихле

$$\chi (x)=\{\begin{array}{l}1,\text{ если }x\text{ рационально,}\\ 0,\text{ если }x\text{ иррационально}\end{array}$$

периодом является любое рациональное число.

1. Доказать, что сумма и произведение двух периодических функций, которые определены на общем множестве и периоды которых соизмеримы, есть функции также периодические.
2. Функция $f(x)$ называется антипериодической, если

$$f(x+T)\equiv -f(x)(T>0)$$

Доказать, что $f(x)$ — периодическая функция с периодом $2T$.

Доказать, что если для функции $f(x)(-\infty <x<+\infty )$ выполнено равенство $f(x+T)=kf(x)$, где $k$ и $T$ — положительные постоянные, то $f(x)=a^x\varphi (x)$, где $a$ — постоянная, а $\varphi (x)$ — периодическая функция с периодом $T$.