Задача 171 — Демидович

В треугольник $A BC$ (см. рисунок), основание которого $A C = b$ и высота $B D = h$ , вписан прямоугольник $K L MN$ , высота которого $NM = x$ . Выразить периметр $P$ прямоугольника $K L MN$ и его площадь $S$ как функции от $x$ .

Построить графики функций $P = P (x)$ и $S = S (x)$ .

Рисунок к условию

Ответ

Периметр прямоугольника как функция от $x$ :

$P (x) = 2 (1 - \frac{b}{h}) x + 2 b$

Площадь прямоугольника как функция от $x$ :

$S (x) = - \frac{b}{h} x^{2} + b x$

Графики приведены в решении.

Петр Радько

Указание

Воспользуйтесь свойствами подобных треугольников.

Решение

Подобие треугольников

Докажем, что треугольники $A BC$ и $L BM$ подобны. Оба треугольника имеют один и тот же угол $∠ B$ .

Углы $∠ A$ и $∠ M L B$ равны как соответственные углы при прямой $A B$ , которая пересекает параллельные прямые $L M$ и $A C$ .

Иллюстрация подобия

Итак, треугольники $A BC$ и $L BM$ имеют два одинаковых угла, значит, по первому признаку подобия треугольников, они подобны:

$△ A BC \sim △ L BM$

$■$

Длина прямоугольника

Ширина прямоугольника $K L MN$ в задаче обозначает за переменную $x$ . Найдем теперь зависимость длины прямоугольника, которую будем обозначать за $y$ , от его ширины $x$ .

Так как треугольники $L BM$ и $A BC$ подобны, отношение их оснований $L M$ и $A C$ равно коэффициенту подобия $k$ :

$\frac{L M}{A C} = k$

Заметим, что основание $L M$ треугольника $L BM$ и является искомой длиной прямоугольника, а $A C = b$ по условию, поэтому перезапишем уравнение выше:

$\frac{y}{b} = k$

$y = kb$

С другой стороны, отношение высот треугольников $L BM$ и $A BC$ также равно коэффициенту подобия $k$ :

$\frac{h - x}{h} = k$

Подставляем найденное выражение для $k$ в формулу длины прямоугольника выше:

$y = \frac{h - x}{h} b$

Запишем в более удобной форме:

$y = - \frac{b}{h} x + b$

Периметр

Периметр любого прямоугольника со сторонами $x$ и $y$ равен сумме длин всех его сторон:

$P = 2 x + 2 y$

Вместо $y$ подставляем найденное в предыдущем разделе выражение:

$P = 2 x + 2 (- \frac{b}{h} x + b)$

Запишем в более каноническом виде:

$P (x) = 2 (1 - \frac{b}{h}) x + 2 b$

Получили уравнение прямой, которая возрастает, когда высота $h$ больше основания $b$ и убывает, когда высота меньше основания.

Для демонстрации этого построим график периметра $P_{1} (x)$ вписанного прямоугольника в треугольник со основанием $b = 1$ и высотой $h = 3$ .

$P_{1} (x) = \frac{4}{3} x + 2$

Первый график функции периметра

Видим, что наименьший периметр $2$ прямоугольник имеет при $x = 0$ , когда он сплющивается к небольшому основанию, а наибольший $6$ , когда он полностью вытягивается к высоте.

Теперь построим график $P_{2} (x)$ вписанного прямоугольника в треугольник с основанием $b = 3$ и высотой $h = 1$ .

$P_{2} (x) = - 4 x + 6$

Первый график функции периметра

Из-за широкого основания уже при $x = 0$ получаем наибольший возможный периметр $6$ , который далее уменьшается, пока не дойдет до минимальных $2$ , когда прямоугольник вытянется на всю небольшую высоту треугольника.

Площадь

Площадь любого прямоугольника со сторонами $x$ и $y$ равен произведению его сторон:

$S = x \cdot y$

Вместо $y$ подставялем найденное в разделе «Длина прямоугольника» выражение:

$S = x \cdot (- \frac{b}{h} x + b)$

Раскрываем скобки:

$S (x) = - \frac{b}{h} x^{2} + b x$

Получили уравнение перевернутой параболы. Это означает, что при любых основании и высоте площадь прямоугольника в зависимости от $x$ будет сначала возрастать, достигать своего максимума, а затем убывать.

Для демонстрации этого построим график площади $S_{1} (x)$ вписанного прямоугольника в треугольник с основанием $b = 1$ и высотой $h = 3$ .

$S_{1} (x) = - \frac{1}{3} x^{2} + x$

График функции площади

165 172