Демидович
171

В треугольник (см. рисунок), основание которого и высота , вписан прямоугольник , высота которого . Выразить периметр прямоугольника и его площадь как функции от .

Построить графики функций и .

Рисунок к условию

Ответ

Периметр прямоугольника как функция от :

Площадь прямоугольника как функция от :

Графики приведены в решении.

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Указание

Воспользуйтесь свойствами подобных треугольников.

Решение

Подобие треугольников

Докажем, что треугольники и подобны. Оба треугольника имеют один и тот же угол .

Углы и равны как соответственные углы при прямой , которая пересекает параллельные прямые и .

Иллюстрация подобия

Итак, треугольники и имеют два одинаковых угла, значит, по первому признаку подобия треугольников, они подобны:

Длина прямоугольника

Ширина прямоугольника в задаче обозначает за переменную . Найдем теперь зависимость длины прямоугольника, которую будем обозначать за , от его ширины .

Так как треугольники и подобны, отношение их оснований и равно коэффициенту подобия :

Заметим, что основание треугольника и является искомой длиной прямоугольника, а по условию, поэтому перезапишем уравнение выше:

С другой стороны, отношение высот треугольников и также равно коэффициенту подобия :

Подставляем найденное выражение для в формулу длины прямоугольника выше:

Запишем в более удобной форме:

Периметр

Периметр любого прямоугольника со сторонами и равен сумме длин всех его сторон:

Вместо подставляем найденное в предыдущем разделе выражение:

Запишем в более каноническом виде:

Получили уравнение прямой, которая возрастает, когда высота больше основания и убывает, когда высота меньше основания.

Для демонстрации этого построим график периметра вписанного прямоугольника в треугольник со основанием и высотой .

Первый график функции периметра

Видим, что наименьший периметр прямоугольник имеет при , когда он сплющивается к небольшому основанию, а наибольший , когда он полностью вытягивается к высоте.

Теперь построим график вписанного прямоугольника в треугольник с основанием и высотой .

Первый график функции периметра

Из-за широкого основания уже при получаем наибольший возможный периметр , который далее уменьшается, пока не дойдет до минимальных , когда прямоугольник вытянется на всю небольшую высоту треугольника.

Площадь

Площадь любого прямоугольника со сторонами и равен произведению его сторон:

Вместо подставялем найденное в разделе "Длина прямоугольника" выражение:

Раскрываем скобки:

Получили уравнение перевернутой параболы. Это означает, что при любых основании и высоте площадь прямоугольника в зависимости от будет сначала возрастать, достигать своего максимума, а затем убывать.

Для демонстрации этого построим график площади вписанного прямоугольника в треугольник с основанием и высотой .

График функции площади

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!