Рассмотрим два произвольных $x_1$ и $x_2$ из указанного в условии промежутка, такие, что $x_2>x_1$. Докажем, что

$$\begin{gathered} f(x_2)>f(x_1) \\ {x}_2^2>x_1^2 \\ {x}_2^2-x_1^2>0 \\ (x_2+x_1)(x_2-x_1)>0 \end{gathered}$$

Неравенство будет выполняться только если обе скобки одного знака: обе положительны или обе отрицательны. Но левая скобка всегда положительна. Поэтому единственный вариант — положительность правой скобки:

$$x_2>x_1$$

Это неравенство выполняется всегда, ведь иммено такие $x_1$ и $x_2$ мы и рассматриваем.

Итак, для любых $x_2>x_1$ из промежутка из условия выполняется

$$f(x_2)>f(x_1)$$

Это по определению означает, что $f(x)$ монотонно возрастает на промежутке из условия.

$■$