Введем новую переменную $t=\sqrt[6]{x}$. Тогда:

$$t^3=\sqrt{x}{t}^2=\sqrt[3]{x}dt=\frac{1}{6{\sqrt[6]{x}}^5}dx$$

Воспользуемся введенными обозначениями в задаче:

$$\int \frac{dx}{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}}=6\int \frac{t^5}{t^3+t^2}dt=6\int \frac{t^3}{t+1}dt=\dots$$

Дальше поделим $t^3$ на $t+1$ (например, с помощью деления многочленов уголком):

$$\frac{t^3}{t+1}=t^2-t+1-\frac{1}{t+1}$$

Вопспользуемся полученным разложением:

$$\begin{gathered} \dots =6\int \left(t^2-t+1-\frac{1}{t+1}\right)dt= \\ =6\left(\int t^{2}dt-\int tdt+\int dt-\int \frac{1}{t+1}dt\right)=\dots \end{gathered}$$

Первые три слагаемых в скобках являются табличными интегралами. Разберемся с последним слагаемым:

$$\int \frac{1}{t+1}dt=\left|\begin{array}{c}u=t+1\\ du=dt\end{array}\right|=\int \frac{1}{u}du=\ln |u|=\ln |t+1|$$

Но так как в условии задачи имеем $\sqrt{x}$, а корень четной степени можно взять только из положительного числа, то $x\ge 0$, а значит и $t\ge 0$. Поэтому модуль можно убрать.

$$\begin{gathered} \dots =6\left(\frac{t^3}{3}-\frac{t^2}{2}+t-\ln (t+1)\right)= \\ =2\sqrt{x}-3\sqrt[3]{x}+6\sqrt[6]{x}-6\ln (\sqrt[6]{x}+1)+C \end{gathered}$$