Демидович
395

Определить верхнюю и нижнюю грани функций:

Ответ

Пункт а)

Пункт б)

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Указание

Доказательство в обоих пунктах надо проводить от противного.

Для пункта а) нужно построить последовательности -ов, стремящиеся к и .

Для пункта б) достаточно использовать равенства и .

Решение

Пункт а)

Рассмотрим поведение функции целой части при стремлении к :

По ощущениям, является точной нижней гранью на интервале .

Докажем это от противного. Пусть существует какая-то нижняя граница .

Рассмотрим следующую последовательность -ов:

Каждый член этой последовательности находится в интервале из условия. Найдем такие натуральные , чтобы выполнялось неравенство:

Возьмем какое-нибудь натуральное число , которое удовлетворяет неравенству выше. Тогда:

Более того

Найдем значение для этого числа:

Получили противоречие. Значит, не может существовать нижней границы, которая была бы больше .

Доказали, что — точная нижняя грань .

Аналогичным образом можно показать, что — точная верхняя грань. Для этого надо рассматривать следующую последовательность -ов:

Пункт б)

является точной нижней гранью.

Пусть это не так и есть нижняя грань . Но тогда , что противоречит определению нижней грани. Получили противоречие.

является точной верхней гранью.

Пусть это не так и есть верхняя грань . Но тогда , что противоречит определению верхней грани. Получили противоречие.

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!