Пункт а)

Рассмотрим поведение функции целой части при стремлении $x$ к $0$:

$$\begin{array}{rlrlrlr}x=0.9& & x=0.09& & x=0.009& & \dots \\ [x]=0& & [x]=0& & [x]=0& & \dots \end{array}$$

По ощущениям, $0$ является точной нижней гранью $f(x)$ на интервале $(0,2)$.

Докажем это от противного. Пусть существует какая-то нижняя граница $m^{\prime }>0$.

Рассмотрим следующую последовательность $x$-ов:

$$x_n=\frac{1}{n}$$

Каждый член этой последовательности находится в интервале $(0,2)$ из условия. Найдем такие натуральные $n$, чтобы выполнялось неравенство:

$$\frac{1}{n}<m^{\prime }$$

$$n>\frac{1}{m^{\prime }}$$

Возьмем какое-нибудь натуральное число $n^{\prime }$, которое удовлетворяет неравенству выше. Тогда:

$$\frac{1}{n^{\prime }}<m^{\prime }$$

Более того

$$0\le \frac{1}{n^{\prime }}<1$$

Найдем значение $f(x)$ для этого числа:

$$\left[\frac{1}{n^{\prime }}\right]=0+\frac{1}{n^{\prime }}=0$$

Получили противоречие. Значит, не может существовать нижней границы, которая была бы больше $0$.

Доказали, что $0$ — точная нижняя грань $f(x)$.

Аналогичным образом можно показать, что $1$ — точная верхняя грань. Для этого надо рассматривать следующую последовательность $x$-ов:

$$x_n=2-\frac{1}{n}$$

Пункт б)

$0$ является точной нижней гранью.

Пусть это не так и есть нижняя грань $m^{\prime }>0$. Но тогда $[0]=0<m^{\prime }$, что противоречит определению нижней грани. Получили противоречие.

$2$ является точной верхней гранью.

Пусть это не так и есть верхняя грань $M^{\prime }<2$. Но тогда $[2]=2>M^{\prime }$, что противоречит определению верхней грани. Получили противоречие.

$■$