§5. Предел функции

Показать, что функция, определяемая условиями:

$$f(x)=n,\text{ если }x=\frac{m}{n},$$

где $m$ и $n$ — взаимно простые числа и $n>0$, и

$$f(x)=0,\text{ если }x\text{ иррационально},$$

конечна, но не ограничена в каждой точке $x$ (т. е. не ограничена в любой окрестности этой точки).

Если функция $f(x)$ определена и локально ограничена в каждой точке: а) интервала, б) сегмента, то является ли эта функция ограниченной на данном интервале или соответственно сегменте?

Показать, что функция

$$f(x)=\frac{1+x^2}{1+x^4}$$

ограничена в интервале $-\infty <x<+\infty$.

Показать, что функция

$$f(x)=\frac{1}{x}\cos \frac{1}{x}$$

не ограничена в любой окрестности точки $x=0$, однако не является бесконечно большой при $x\to 0$.

Исследовать на ограниченность функцию

$$f(x)=\ln x\cdot {\sin }^2\frac{\pi }{x}$$

в интервале $0<x<\epsilon$.

Показать, что функция

$$f(x)=\frac{x}{1+x}$$

в области $0\le x<+\infty$ имеет нижнюю грань $m=0$ и верхнюю грань $M=1$.

Функция $f(x)$ определена и монотонно возрастает на сегменте $[a,b]$. Чему равны ее нижняя и верхняя грани на этом сегменте?

$$f(x)=x^2\text{ на }[-2,5]$$

$$f(x)=\frac{1}{1+x^2}\text{ на }(-\infty ,+\infty )$$

$$f(x)=\frac{2x}{1+x^2}\text{ на }(0,+\infty )$$

$$f(x)=x+\frac{1}{x}\text{ на }(0,+\infty )$$

$$f(x)=\sin x\text{ на }(0,+\infty )$$

$$f(x)=\sin x+\cos x\text{ на }[0,2\pi ]$$

$$f(x)=2^x\text{ на }(-1,2)$$

$$f(x)=[x]:\text{ а) на }(0,2)\text{ и б) на }[0,2]$$

$$f(x)=x-[x]\text{ на }[0,1]$$

Определить колебание функции $f(x)=x^2$ на интервалах:

$$\text{а) }(1;3);\text{б) }(1.9;2.1);\text{в) }(1.99;2.01);\text{г) }(1.999;2.001)$$

Определить колебание функции $f(x)=\mathrm{arctg}\frac{1}{x}$ на интервалах:

$$\text{а) }(-1;1);\text{б) }(-0.1;0.1);\text{в) }(-0.01;0.01);\text{г) }(-0.001;0.001);$$

Пусть $m[f]$ и $M[f]$ — соответственно нижняя и верхняя грани функции $f(x)$ на промежутке $(a,b)$.

Доказать, что если $f_1(x)$ и $f_2(x)$ — функции, определенные на $(a,b)$, то

$$\begin{gathered} m[f_1+f_2]\ge m[f_1]+m[f_2] \\ M[f_1+f_2]\le M[f_1]+M[f_2] \end{gathered}$$

Построить примеры функций $f_1(x)$ и $f_2(x)$, для которых в последних соотношениях имеет место:

а) случай равенства и б) случай неравенства.

Пусть функция $f(x)$ определена в области $[a,+\infty )$ и ограничена на каждом сегменте $[a,b]$. Положим:

$$m(x)=\underset{a\le \xi \le x}{\inf }f(\xi )M(x)=\underset{a\le \xi \le x}{\sup }f(\xi )$$

Построить графики функций $y=m(x)$ и $y=M(x)$, если:

$$\text{а) }f(x)=\sin x;\text{б) }f(x)=\cos x$$

С помощью «$\epsilon$ — $\delta$»-рассуждений доказать, что

$$\underset{x\to 2}{\lim }{x}^2=4.$$

Заполнить следующую таблицу:

$$\begin{array}{cccccc}\epsilon & 0.1& 0.01& 0.001& 0.0001& \dots \\ \delta & & & & & \end{array}$$

На языке «$E$ — $\delta$» доказать, что

$$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{1}{(1-x{)}^2}=+\infty .$$

Заполнить следующую таблицу:

$$\begin{array}{cccccc}E& 10& 100& 1000& 10000& \dots \\ \delta & & & & & \end{array}$$

Сформулировать с помощью неравенств следующие утверждения:

$$\text{а) }\underset{x\to a}{\lim }f(x)=b;\text{б) }\underset{x\to a-0}{\lim }f(x)=b;\text{в) }\underset{x\to a+0}{\lim }f(x)=b.$$

Привести соответствующие примеры.

$$\text{а) }\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=b;\text{б) }\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=b;\text{в) }\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=b$$

$$\begin{array}{ll}\text{а) }\underset{x\to a}{\lim }f(x)=\infty ;& \text{б) }\underset{x\to a}{\lim }f(x)=-\infty ;\\ \text{в) }\underset{x\to a}{\lim }f(x)=+\infty ;& \text{г) }\underset{x\to a-0}{\lim }f(x)=\infty ;\\ \text{д) }\underset{x\to a-0}{\lim }f(x)=-\infty ;& \text{е) }\underset{x\to a-0}{\lim }f(x)=+\infty ;\\ \text{ж) }\underset{x\to a+0}{\lim }f(x)=\infty ;& \text{з) }\underset{x\to a+0}{\lim }f(x)=-\infty ;\\ \text{и) }\underset{x\to a+0}{\lim }f(x)=+\infty & \end{array}$$

$$\begin{array}{ll}\text{а) }\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=\infty ;& \text{б) }\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=-\infty ;\\ \text{в) }\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=+\infty ;& \text{г) }\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=\infty ;\\ \text{д) }\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=-\infty ;& \text{е) }\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=+\infty ;\\ \text{ж) }\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\infty ;& \text{з) }\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=-\infty ;\\ \text{и) }\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty & \end{array}$$

Пусть $y=f(x)$. Сформулировать с помощью неравенств, что значит:

$$\begin{array}{ll}\text{а) }y\to b-0\text{ при }x\to a;& \text{б) }y\to b-0\text{ при }x\to a-0;\\ \text{в) }y\to b-0\text{ при }x\to a+0;& \text{г) }y\to b+0\text{ при }x\to a;\\ \text{д) }y\to b+0\text{ при }x\to a-0;& \text{е) }y\to b+0\text{ при }x\to a+0;\\ \text{ж) }y\to b-0\text{ при }x\to \infty ;& \text{з) }y\to b-0\text{ при }x\to -\infty ;\\ \text{и) }y\to b-0\text{ при }x\to +\infty ;& \text{к) }y\to b+0\text{ при }x\to \infty ;\\ \text{л) }y\to b+0\text{ при }x\to -\infty ;& \text{м) }y\to b+0\text{ при }x\to +\infty \end{array}$$

Привести соответствующие примеры.

Пусть

$$P(x)=a_0{x}^n+a_1{x}^{n-1}+\dots +a_n,$$

где $a_i(i=0,1,\dots ,n;n\ge 1,a_0\ne 0);$ — вещественные числа.

Доказать, что

$$\underset{x\to \infty }{\lim }|P(x)|=+\infty$$

Пусть

$$R(x)=\frac{a_0{x}^n+a_1{x}^{n-1}+\dots +a_n}{b_0{x}^m+b_1{x}^{m-1}+\dots +b_m},$$

где $a_0\ne 0$ и $b_0\ne 0$.

Доказать, что

$$\underset{x\to \infty }{\lim }R(x)=\{\begin{array}{ll}\infty ,& \text{если }n>m;\\ \frac{a_0}{b_0},& \text{если }n=m;\\ 0,& \text{если }n<m.\end{array}$$

Пусть

$$R(x)=\frac{P(x)}{Q(x)},$$

где $P(x)$ и $Q(x)$ — многочлены от $x$ и

$$P(a)=Q(a)=0.$$

Какие возможные значения имеет выражение

$$\underset{x\to a}{\lim }\frac{P(x)}{Q(x)}?$$

$$\text{а) }\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2-1}{2x^2-x-1};\text{б) }\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2-1}{2x^2-x-1};\text{в) }\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x^2-1}{2x^2-x-1}$$

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(1+x)(1+2x)(1+3x)-1}{x}$$

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(1+x{)}^5-(1+5x)}{x^2+x^5}$$

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(1+mx{)}^n-(1+nx{)}^m}{x^2}(m\text{ и }n\text{ — натуральные числа })$$

$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)}{(5x-1{)}^5}$$

$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{(2x-3{)}^{20}(3x+2{)}^{30}}{(2x+1{)}^{50}}$$

$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{(x+1)(x^2+1)\dots (x^n+1)}{{\left[(nx{)}^n+1\right]}^{\frac{n+1}{2}}}$$

$$\underset{x\to 3}{\lim }\frac{x^2-5x+6}{x^2-8x+15}$$

$$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^3-3x+2}{x^4-4x+3}$$

$$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^4-3x+2}{x^5-4x+3}$$

$$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^3-2x^2-4x+8}{x^4-8x^2+16}$$

$$\underset{x\to -1}{\lim }\frac{x^3-2x-1}{x^5-2x-1}$$

$$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{(x^2-x-2{)}^{30}}{(x^3-12x+16{)}^{10}}$$

$$\text{а) }\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x+x^2+\dots +x^n-n}{x-1};\text{б) }\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^{100}-2x+1}{x^{50}-2x+1}$$

$$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^m-1}{x^n-1}(m\text{ и }n\text{ — натуральные числа})$$

$$\underset{x\to a}{\lim }\frac{(x^n-a^n)-n{a}^{n-1}(x-a)}{(x-a{)}^2}(n\text{ — натуральное число})$$

$$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^{n+1}-(n+1)x+n}{(x-1{)}^2}(n\text{ — натуральное число})$$

$$\underset{x\to 1}{\lim }\left(\frac{m}{1-x^m}-\frac{n}{1-x^n}\right)(m\text{ и }n\text{ — натуральные числа})$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\left[\left(x+\frac{a}{n}\right)+\left(x+\frac{2a}{n}\right)+\dots +\left(x+\frac{(n-1)a}{n}\right)\right]$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\left[{\left(x+\frac{a}{n}\right)}^2+{\left(x+\frac{2a}{n}\right)}^2+\dots +{\left(x+\frac{(n-1)a}{n}\right)}^2\right]$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1^2+3^2+\dots +(2n-1{)}^2}{2^2+4^2+\dots +(2n{)}^2}$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\frac{1^3+2^3+\dots +n^3}{n^3}-\frac{n}{4}\right)$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1^3+4^3+7^3+\dots +(3n-2{)}^3}{[1+4+7+\dots +(3n-2){]}^2}$$

Определить площадь криволинейного треугольника $OAM$, ограниченного параболой $y=b(x/a{)}^2$, осью $Ox$ и прямой $x=a$, рассматривая ее как предел суммы площадей вписанных прямоугольников с основаниями $a/n$, где $n\to \infty$.

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}{\sqrt{x+1}}$$

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}+\sqrt[4]{x}}{\sqrt{2x+1}}$$

$$\underset{x\to 4}{\lim }\frac{\sqrt{1+2x}-3}{\sqrt{x}-2}$$

$$\underset{x\to -8}{\lim }\frac{\sqrt{1-x}-3}{2+\sqrt[3]{x}}$$

$$\underset{x\to a}{\lim }\frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}+\sqrt{x-a}}{\sqrt{x^2-a^2}}(a>0)$$

$$\underset{x\to 3}{\lim }\frac{\sqrt{x+13}-2\sqrt{x+1}}{x^2-9}$$

$$\underset{x\to -2}{\lim }\frac{\sqrt[3]{x-6}+2}{x^3+8}$$

$$\underset{x\to 16}{\lim }\frac{\sqrt[4]{x}-2}{\sqrt{x}-4}$$

$$\underset{x\to 8}{\lim }\frac{\sqrt{9+2x}-5}{\sqrt[3]{x}-2}$$

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt[n]{1+x}-1}{x}(n\text{ — натуральное число})$$

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{1-2x-x^2}-(1+x)}{x}$$

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt[3]{8+3x-x^2}-2}{x+x^2}$$

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt[3]{27+x}-\sqrt[3]{27-x}}{x+2\sqrt[3]{x^4}}$$

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{\sqrt[3]{1+x}-\sqrt[3]{1-x}}$$

$$\underset{x\to 7}{\lim }\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt[3]{x+20}}{\sqrt[4]{x+9}-2}$$

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt[3]{1+\frac{x}{3}}-\sqrt[4]{1+\frac{x}{4}}}{1-\sqrt{1-\frac{x}{2}}}$$

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2}{\sqrt[5]{1+5x}-(1+x)}$$

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt[m]{1+\alpha x}-\sqrt[n]{1+\beta x}}{x}(m\text{ и }n\text{ — целые числа})$$

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt[m]{1+\alpha x}\sqrt[n]{1+\beta x}-1}{x}(m\text{ и }n\text{ — целые числа})$$

Пусть

$$P(x)=a_{1}x+a_2{x}^2+\dots +a_n{x}^n$$

и $m$ — целое число.

Доказать, что

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt[m]{1+P(x)}-1}{x}=\frac{a_1}{m}$$

$$\begin{gathered} \text{a) }\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\sqrt[m]{x}-1}{\sqrt[n]{x}-1}(m\text{ и }n\text{ — целые числа}) \\ \text{б) }\underset{x\to 1}{\lim }\left(\frac{3}{1-\sqrt{x}}-\frac{3}{1-\sqrt[3]{x}}\right) \end{gathered}$$

$$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{(1-\sqrt{x})(1-\sqrt[3]{x})\dots (1-\sqrt[n]{x})}{(1-x{)}^{n-1}}$$

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[\sqrt{(x+a)(x+b)}-x\right]$$

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}-\sqrt{x}\right)$$

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }x(\sqrt{x^2+2x}-2\sqrt{x^2+x}+x)$$

$$\underset{x\to +0}{\lim }\left(\sqrt{\frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x}}}}-\sqrt{\frac{1}{x}-\sqrt{\frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x}}}}\right)$$

$$\underset{x\to \infty }{\lim }\left(\sqrt[3]{x^3+x^2+1}-\sqrt[3]{x^3-x^2+1}\right)$$

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt[3]{x^3+3x^2}-\sqrt{x^2-2x}\right)$$

$$\underset{x\to \infty }{\lim }{x}^{\frac{1}{3}}\left[(x+1{)}^{\frac{2}{3}}-(x-1{)}^{\frac{2}{3}}\right]$$

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^{\frac{3}{2}}\left(\sqrt{x+2}-2\sqrt{x+1}+\sqrt{x}\right)$$

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[\sqrt[n]{(x+a_1)\dots (x+a_n)}-x\right]$$

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{{\left(x-\sqrt{x^2-1}\right)}^n+{\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)}^n}{x^n}(n\text{ — натуральное число})$$

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\left(\sqrt{1+x^2}+x\right)}^n-{\left(\sqrt{1+x^2}-x\right)}^n}{x}(n\text{ — натуральное число})$$

Изучить поведение корней $x_1$ и $x_2$ квадратного уравнения

$$a{x}^2+bx+c=0,$$

у которого коэффициент $a$ стремится к нулю, а коэффициенты $b$ и $c$ постоянны, причем $b\ne 0$.

Найти постоянные $a$ и $b$ из условия

$$\underset{x\to \infty }{\lim }\left(\frac{x^2+1}{x+1}-ax-b\right)=0$$

Найти постоянные $a_i$ и $b_i(i=1,2)$ из условий:

$$\underset{x\to -\infty }{\lim }(\sqrt{x^2-x+1}-a_{1}x-b_1)=0$$

и

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }(\sqrt{x^2-x+1}-a_{2}x-b_2)=0$$

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin 5x}{x}$$

$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\sin x}{x}$$

$$\underset{x\to \pi }{\lim }\frac{\sin mx}{\sin nx}(m\text{ и }n\text{ — целые числа})$$

$$\text{а) }\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x^2}\text{б) }\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{tg}x}{x}\text{в) }\underset{x\to 0}{\lim }x\mathrm{ctg}3x$$

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{tg}x-\sin x}{{\sin }^{3}x}$$

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin 5x-\sin 3x}{\sin x}$$

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\cos x-\cos 3x}{x^2}$$

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1+\sin x-\cos x}{1+\sin px-\cos px}$$

$$\underset{x\to \frac{\pi }{4}}{\lim }\mathrm{tg}2x\mathrm{tg}\left(\frac{\pi }{4}-x\right)$$

$$\underset{x\to 1}{\lim }(1-x)\mathrm{tg}\frac{\pi x}{2}$$

Доказать равенства:

$$\begin{gathered} \text{а) }\sin x=\sin a;\text{б) }\underset{x\to a}{\lim }\cos x=\cos a \\ \text{в) }\underset{x\to a}{\lim }\mathrm{tg}x=\mathrm{tg}a\left(a\ne \frac{2n-1}{2}\pi ;n=0,\pm 1,\pm 2,\dots \right) \end{gathered}$$

$$\underset{x\to a}{\lim }\frac{\sin x-\sin a}{x-a}$$

$$\underset{x\to a}{\lim }\frac{\cos x-\cos a}{x-a}$$

$$\underset{x\to a}{\lim }\frac{\mathrm{tg}x-\mathrm{tg}a}{x-a}$$

$$\underset{x\to a}{\lim }\frac{\mathrm{ctg}x-\mathrm{ctg}a}{x-a}$$

$$\underset{x\to a}{\lim }\frac{\sec x-\sec a}{x-a}$$

$$\underset{x\to a}{\lim }\frac{\mathrm{cosec}x-\mathrm{cosec}a}{x-a}$$

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin (a+2x)-2\sin (a+x)+\sin a}{x^2}$$

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\cos (a+2x)-2\cos (a+x)+\cos a}{x^2}$$

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{tg}(a+2x)-2\mathrm{tg}(a+x)+\mathrm{tg}a}{x^2}$$

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{ctg}(a+2x)-2\mathrm{ctg}(a+x)+\mathrm{ctg}a}{x^2}$$

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin (a+x)\sin (a+2x)-{\sin }^{2}a}{x}$$

$$\underset{x\to \frac{\pi }{6}}{\lim }\frac{2{\sin }^{2}x+\sin x-1}{2{\sin }^{2}x-3\sin x+1}$$

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x\cos 2x\cos 3x}{1-\cos x}$$

$$\underset{x\to \frac{\pi }{3}}{\lim }\frac{\sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)}{1-2\cos x}$$

$$\underset{x\to \frac{\pi }{3}}{\lim }\frac{{\mathrm{tg}}^{3}x-3\mathrm{tg}x}{\cos \left(x+\frac{\pi }{6}\right)}$$

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{tg}(a+x)\mathrm{tg}(a-x)-{\mathrm{tg}}^{2}a}{x^2}$$

$$\underset{x\to \frac{\pi }{4}}{\lim }\frac{1-{\mathrm{ctg}}^{3}x}{2-\mathrm{ctg}x-{\mathrm{ctg}}^{3}x}$$

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{1+\mathrm{tg}x}-\sqrt{1+\sin x}}{x^3}$$

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2}{\sqrt{1+x\sin x}-\sqrt{\cos x}}$$

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{\cos x}-\sqrt[3]{\cos x}}{{\sin }^{2}x}$$

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{1-\cos x^2}}{1-\cos x}$$

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\sqrt{\cos x}}{1-\cos (\sqrt{x})}$$

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x\sqrt{\cos 2x}\sqrt[3]{\cos 3x}}{x^2}$$

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }(\sin \sqrt{x+1}-\sin \sqrt{x})$$

$$\begin{gathered} \text{а) }\underset{x\to 0}{\lim }{\left(\frac{1+x}{2+x}\right)}^{(1-\sqrt{x})/(1-x)}; \\ \text{б) }\underset{x\to 1}{\lim }{\left(\frac{1+x}{2+x}\right)}^{(1-\sqrt{x})/(1-x)};\text{в) }\underset{x\to +\infty }{\lim }{\left(\frac{1+x}{2+x}\right)}^{(1-\sqrt{x})/(1-x)} \end{gathered}$$