Ограниченная функция

Показать, что функция, определяемая условиями:

$$f(x)=n,\text{ если }x=\frac{m}{n},$$

где $m$ и $n$ — взаимно простые числа и $n>0$, и

$$f(x)=0,\text{ если }x\text{ иррационально},$$

конечна, но не ограничена в каждой точке $x$ (т. е. не ограничена в любой окрестности этой точки).

Если функция $f(x)$ определена и локально ограничена в каждой точке: а) интервала, б) сегмента, то является ли эта функция ограниченной на данном интервале или соответственно сегменте?

Показать, что функция

$$f(x)=\frac{1+x^2}{1+x^4}$$

ограничена в интервале $-\infty <x<+\infty$.

Показать, что функция

$$f(x)=\frac{1}{x}\cos \frac{1}{x}$$

не ограничена в любой окрестности точки $x=0$, однако не является бесконечно большой при $x\to 0$.

Исследовать на ограниченность функцию

$$f(x)=\ln x\cdot {\sin }^2\frac{\pi }{x}$$

в интервале $0<x<\epsilon$.

Показать, что функция

$$f(x)=\frac{x}{1+x}$$

в области $0\le x<+\infty$ имеет нижнюю грань $m=0$ и верхнюю грань $M=1$.

Функция $f(x)$ определена и монотонно возрастает на сегменте $[a,b]$. Чему равны ее нижняя и верхняя грани на этом сегменте?

$$f(x)=x^2\text{ на }[-2,5]$$

$$f(x)=\frac{1}{1+x^2}\text{ на }(-\infty ,+\infty )$$

$$f(x)=\frac{2x}{1+x^2}\text{ на }(0,+\infty )$$

$$f(x)=x+\frac{1}{x}\text{ на }(0,+\infty )$$

$$f(x)=\sin x\text{ на }(0,+\infty )$$

$$f(x)=\sin x+\cos x\text{ на }[0,2\pi ]$$

$$f(x)=2^x\text{ на }(-1,2)$$

$$f(x)=[x]:\text{ а) на }(0,2)\text{ и б) на }[0,2]$$

$$f(x)=x-[x]\text{ на }[0,1]$$

Определить колебание функции $f(x)=x^2$ на интервалах:

$$\text{а) }(1;3);\text{б) }(1.9;2.1);\text{в) }(1.99;2.01);\text{г) }(1.999;2.001)$$

Определить колебание функции $f(x)=\mathrm{arctg}\frac{1}{x}$ на интервалах:

$$\text{а) }(-1;1);\text{б) }(-0.1;0.1);\text{в) }(-0.01;0.01);\text{г) }(-0.001;0.001);$$

Пусть $m[f]$ и $M[f]$ — соответственно нижняя и верхняя грани функции $f(x)$ на промежутке $(a,b)$.

Доказать, что если $f_1(x)$ и $f_2(x)$ — функции, определенные на $(a,b)$, то

$$\begin{gathered} m[f_1+f_2]\ge m[f_1]+m[f_2] \\ M[f_1+f_2]\le M[f_1]+M[f_2] \end{gathered}$$

Построить примеры функций $f_1(x)$ и $f_2(x)$, для которых в последних соотношениях имеет место:

а) случай равенства и б) случай неравенства.

Пусть функция $f(x)$ определена в области $[a,+\infty )$ и ограничена на каждом сегменте $[a,b]$. Положим:

$$m(x)=\underset{a\le \xi \le x}{\inf }f(\xi )M(x)=\underset{a\le \xi \le x}{\sup }f(\xi )$$

Построить графики функций $y=m(x)$ и $y=M(x)$, если:

$$\text{а) }f(x)=\sin x;\text{б) }f(x)=\cos x$$