Демидович
399

Пусть и — соответственно нижняя и верхняя грани функции на промежутке .

Доказать, что если и — функции, определенные на , то

Построить примеры функций и , для которых в последних соотношениях имеет место:

а) случай равенства и б) случай неравенства.

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Указание

Докажите, что сумма нижних граней является нижней границей функции .

Для примера а) воспользуйтесь двумя константыми функциями.

Для примера б) воспользуйтесь квадратичными функциями.

Решение

Доказательство соотношений

Доказывать будем для случая нижних границ. Для верхних рассуждения аналогичные.

Итак, по определению нижняя грань не больше любого значения на , а не больше . Формально:

Сложим оба неравенства:

Получается, что число по определению является нижней границей функции . Но не факт, что точной нижней гранью. Именно поэтому выполняется неравенство:

Если действительно является точной нижней гранью, получаем равенство. Если нет, значит существует более большая нижняя граница и тогда получаем неравенство.

Пример а)

Рассмотрим следующие функции:

Тогда:

Рассмотрим функцию суммы:

Пример б)

Рассмотрим следующие функции на промежутке (-1, 1):

Тогда:

Рассмотрим функцию суммы:

Итог:

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!