Задача 399 — Демидович

Указание

Докажите, что сумма нижних граней является нижней границей функции $f_{1} (x) = f_{2} (x)$ .

Для примера а) воспользуйтесь двумя константыми функциями.

Для примера б) воспользуйтесь квадратичными функциями.

Решение

Доказательство соотношений

Доказывать будем для случая нижних границ. Для верхних рассуждения аналогичные.

Итак, по определению нижняя грань $m [f_{1}]$ не больше любого значения $f_{1} (x)$ на $(a, b)$ , а $m [f_{2}]$ не больше $f_{2} (x)$ . Формально:

$\forall x \in (a, b) : {m [f_{1}] \leq f_{1} (x) m [f_{2}] \leq f_{2} (x)$

Сложим оба неравенства:

$m [f_{1}] + m [f_{2}] \leq f_{1} (x) + f_{2} (x)$

Получается, что число $m [f_{1}] + m [f_{2}]$ по определению является нижней границей функции $f_{1} (x) + f_{2} (x)$ . Но не факт, что точной нижней гранью. Именно поэтому выполняется неравенство:

$m [f_{1}] + m [f_{2}] \leq m [f_{1} + f_{2}]$

Если $m [f_{1}] + m [f_{2}]$ действительно является точной нижней гранью, получаем равенство. Если нет, значит существует более большая нижняя граница и тогда получаем неравенство.

$■$

Пример а)

Рассмотрим следующие функции:

$f_{1} (x) = 1 f_{2} (x) = 2$

Тогда:

$m [f_{1}] = M [f_{1}] = 1 m [f_{2}] = M [f_{2}] = 2$

Рассмотрим функцию суммы:

$f_{1} (x) + f_{2} (x) = 1 + 2 = 3$

$m [f_{1} + f_{2}] = 3 = m [f_{1}] + m [f_{2}] = 1 + 2 M [f_{1} + f_{2}] = 3 = M [f_{1}] + M [f_{2}] = 1 + 2$

Пример б)

Рассмотрим следующие функции на промежутке (-1, 1):

$f_{1} (x) = x^{2} f_{2} (x) = - x^{2}$

Тогда:

$m [f_{1}] = 0 M [f_{1}] = 1 m [f_{2}] = - 1 M [f_{2}] = 0$

Рассмотрим функцию суммы:

$f_{1} (x) + f_{2} (x) = x^{2} - x^{2} = 0 m [f_{1} + f_{2}] = M [f_{1} + f_{2}] = 0$

Итог:

$m [f_{1} + f_{2}] > m [f_{1}] + m [f_{2}] M [f_{1} + f_{2}] < M [f_{1}] + M [f_{2}]$

398 400