Избавимся от иррациональностей одновременно в числителе и в знаменателе:

$$\begin{gathered} \underset{x\to 4}{\lim }\frac{\sqrt{1+2x}-3}{\sqrt{x}-2}\cdot \frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+2}\cdot \frac{\sqrt{1+2x}+3}{\sqrt{1+2x}+3}= \\ =\underset{x\to 4}{\lim }\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{1+2x}+3}\cdot \frac{2(x-4)}{x-4}= \\ =\underset{x\to 4}{\lim }\frac{2(\sqrt{x}+2)}{\sqrt{1+2x}+3}=\left|\begin{array}{c}y=1+2x\\ \underset{x\to 4}{\lim }y(x)=9\\ y\to 9\end{array}\right|= \\ =\frac{\underset{x\to 4}{\lim }2(\sqrt{x}+2)}{\underset{y\to 9}{\lim }\sqrt{y}+3}=\frac{2\cdot 4}{6}=\frac{4}{3} \end{gathered}$$

Выше мы воспользовались арфиметическими свойствами пределов, пределом степенной функции (П-ссылка), а также теоремой о пределе сложной функции (П-ссылка).