Избавимся от иррациональности в числителе:

$$\frac{\sqrt{1-x}-3}{2+\sqrt[3]{x}}\cdot \frac{\sqrt{1-x}+3}{\sqrt{1-x}+3}=-\frac{{\sqrt[3]{x}}^3+2^3}{2+\sqrt[3]{x}}\cdot \frac{1}{\sqrt{1-x}+3}=\dots$$

Воспользуемся формулой суммы кубов:

$$\begin{gathered} \dots =-\frac{(2+\sqrt[3]{x})({\sqrt[3]{x}}^2-2\sqrt[3]{x}+4)}{2+\sqrt[3]{x}}\cdot \frac{1}{\sqrt{1-x}+3}= \\ =-\frac{{\sqrt[3]{x}}^2-2\sqrt[3]{x}+4}{\sqrt{1-x}+3} \end{gathered}$$

Найдем теперь значения предела, используя арифметические свойства пределов, предел степенной функции (П.29), а также предел сложной функции (П.27):

$$\begin{gathered} \underset{x\to -8}{\lim }-\frac{{\sqrt[3]{x}}^2-2\sqrt[3]{x}+4}{\sqrt{1-x}+3}=\left|\begin{array}{c}y=1-x\\ \underset{x\to -8}{\lim }y(x)=9\\ y\to 9\end{array}\right|= \\ =-\frac{\underset{x\to -8}{\lim }{\sqrt[3]{x}}^2-2\sqrt[3]{x}+4}{\underset{y\to 9}{\lim }\sqrt{y}+3}=\frac{4-2\cdot (-2)+4}{3+3}=-2 \end{gathered}$$