Избавимся от иррациональностей в числителе и знаменателе. В числителе воспользуемся формулой разности квадратов, а в знаменателе — разностью кубов.

$$\begin{gathered} \frac{\sqrt{9+2x}-5}{\sqrt[3]{x}-2}= \\ =\frac{\sqrt{9+2x}-5}{\sqrt[3]{x}-2}\cdot \frac{\sqrt{9+2x}+5}{\sqrt{9+2x}+5}\cdot \frac{{\sqrt[3]{x}}^2+2\sqrt[3]{x}+4}{{\sqrt[3]{x}}^2+2\sqrt[3]{x}+4}= \\ =\frac{2(x-8)}{x-8}\cdot \frac{{\sqrt[3]{x}}^2+2\sqrt[3]{x}+4}{\sqrt{9+2x}+5}=2\frac{{\sqrt[3]{x}}^2+2\sqrt[3]{x}+4}{\sqrt{9+2x}+5} \end{gathered}$$

Найдем значение предела, используя предел степенной функции (П.29), также теорему о пределе сложной функции:

$$\begin{gathered} \underset{x\to 8}{\lim }2\frac{{\sqrt[3]{x}}^2+2\sqrt[3]{x}+4}{\sqrt{9+2x}+5}=2\frac{\underset{x\to 8}{\lim }{\sqrt[3]{x}}^2+2\underset{x\to 8}{\lim }\sqrt[3]{x}+4}{\sqrt{\underset{x\to 8}{\lim }(9+2x)}+5}= \\ =2\frac{4+4+4}{5+5}=\frac{12}{5} \end{gathered}$$