Введем новую переменную $y=x+1$ и воспользуемся теоремой о пределе сложной функции:

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt[n]{1+x}-1}{x}=\left|\begin{array}{c}y=1+x\\ \underset{x\to 0}{\lim }y(x)=1\\ y\to 1\end{array}\right|=\underset{y\to 1}{\lim }\frac{\sqrt[n]{y}-1}{y-1}=\underset{y\to 1}{\lim }\frac{\sqrt[n]{y}-1}{{\sqrt[n]{y}}^n-1}$$

В знаменателе воспользуемся равенством из прото-задачи П-ссылка:

$$\begin{gathered} \underset{y\to 1}{\lim }\frac{\sqrt[n]{y}-1}{(\sqrt[n]{y}-1)({\sqrt[n]{y}}^{n-1}+{\sqrt[n]{y}}^{n-2}+\dots +1)}= \\ =\underset{y\to 1}{\lim }\frac{1}{{\sqrt[n]{y}}^{n-1}+{\sqrt[n]{y}}^{n-2}+\dots +1}=\frac{1}{1+1+\dots +1}=\frac{1}{n} \end{gathered}$$

Выше мы воспользовались арифметическими свойствами пределов, а также предлом степенной функции (П-ссылка).