Рассмотрим формулу суммы $n$ первых членов геометрической прогрессии:

$$S_n=\frac{b_1\left(q^n-1\right)}{q-1}$$

Найдем предел этой суммы в случае, когда $|q|<1$:

$$\begin{gathered} \underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n=\frac{b_1}{q-1}\cdot \underset{n\to \infty }{\lim }{q}^n-1=\frac{b_1}{q-1}\cdot \left(\left(\underset{n\to \infty }{\lim }{q}^n\right)-1\right)= \\ =\frac{b_1}{q-1}\cdot \left(0-1\right)=\frac{b_1}{1-q} \end{gathered}$$

Выше использовался факт, что $q^n\to 0$, так как это геометрическая прогрессия, у которой модуль знаменателя меньше $1$. Такие геометрические прогрессии являются бесконечно малыми (см. прото-задачу П-ссылка).

В числителе и знаменателе последовательности из условия имеем как раз сумму геометрической прогрессии с первым членом, равным $1$:

$$\begin{gathered} \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1+a+a^2+\dots +a^n}{1+b+b^2+\dots +b^n}=\frac{\underset{n\to \infty }{\lim }1+a+a^2+\dots +a^n}{\underset{n\to \infty }{\lim }1+b+b^2+\dots +b^n}= \\ =\frac{\frac{1}{1-a}}{\frac{1}{1-b}}=\frac{1-b}{1-a} \end{gathered}$$