Техника нахождения пределов

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{10000n}{n^2+1}$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\sqrt[3]{n^2}\sin n!}{n+1}$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{(-2{)}^n+3^n}{(-2^{n+1}+3^{n+1})}$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1+a+a^2+\dots +a^n}{1+b+b^2+\dots +b^n}(|a|<1,|b|<1)$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\frac{1}{n^2}+\frac{2}{n^2}+\dots +\frac{n-1}{n^2}\right)$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\left|\frac{1}{n}-\frac{2}{n}+\frac{3}{n}-\dots +\frac{(-1{)}^{n-1}n}{n}\right|$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\left[\frac{1^2}{n^3}+\frac{2^2}{n^3}+\dots +\frac{(n-1{)}^2}{n^3}\right]$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\left[\frac{1^2}{n^3}+\frac{3^2}{n^3}+\dots +\frac{(2n-1{)}^2}{n^3}\right]$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\frac{1}{2}+\frac{3}{2^2}+\frac{5}{2^3}+\dots +\frac{2n-1}{2^n}\right)$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\left[\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\dots +\frac{1}{n(n+1)}\right]$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\sqrt{2}\sqrt[4]{2}\sqrt[8]{2}\dots \sqrt[2n]{2}\right)$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n}{2^n}=0$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2n}{n!}=0$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n^k}{a^n}=0(a>1)$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a^n}{n!}=0$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }n{q}^n=0,\text{если }|q|<1$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{a}=1(a>0)$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{{\log }_{a}n}{n}=0(a>1)$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{n}=1$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{\sqrt[n]{n!}}=0$$

Какое выражение больше при достаточно больших $n$:

$$\begin{array}{rl}& \text{a) }100n+200\text{ или }0.01n^2?;\text{б) }{2}^n\text{ или }{n}^{1000}?;\\ & \text{в) }1000^n\text{ или }n!?\end{array}$$

Доказать, что

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\dots \frac{2n-1}{2n}\right)=0$$