Демидович
75

Доказать неравенства:

а) , где — любое натуральное число;

б) , где — вещественное число, отличное от нуля.

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Указание

Воспользуйтесь результатами задачи 69 и неравенством Бернулли (задача 7).

Решение

Доказательство а)

Доказательство правой части

Умножим обе части на :

Представим обе части неравенства как показатели степени с основанием (знак неравенства не изменится, так как ):

Последнее неравенство выполняется (см. задачу 69).

Итак, мы доказали, что

Доказательство левой части

Умножим обе части на :

Представим обе части неравенства как показатели степени с основанием (знак неравенства не поменяется, так как ):

Последнее неравенство выполняется (см. задачу 69).

Итак, мы доказали, что

Доказательство б)

Доказательство для рационального

Пусть — рациональное число:

Рассмотрим три варианта:

Из задачи 69 известно, что

а значит и

Возьмем корень -ой степени из обеих частей:

Возведем обе части в степень :

Для выражения слева от знака неравенства воспользуемся неравенством Бернулли (см. задачу 7):

Раз , то

Так как — целое число меньше , то

Прибавим к обеим частям неравенства :

В то же время мы знаем, что даже при отрицательном будет строго больше нуля, так как , где .

Поэтому

Доказательство для иррационального

Нам нужно доказать, что

Вычтем из обеих частей и далее будем рассматривать именно полученное неравенство:

Так как — иррациональное число, то его порождает сечение на множестве рациональных чисел.

Так как у нижнего класса не наибольшего рационального числа, то в этом классе можно выделить возрастающую последовательность рациональных чисел . В классе можно выделить убывающую последовательность рациональных чисел . Итак,

Причем

Рассмотрим левую часть неравенства :

Представим обе части неравенства в виде показателей степени с основанием :

Теперь рассмотрим вторую часть неравенства :

Умножим обе части неравенства на :

Прибавим к обеим сторонам число :

Но выше мы уже показали, что , поэтому

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!