Доказать неравенства:
а) , где — любое натуральное число;
б) , где — вещественное число, отличное от нуля.
Доказать неравенства:
а) , где — любое натуральное число;
б) , где — вещественное число, отличное от нуля.
Доказательство правой части
Умножим обе части на :
Представим обе части неравенства как показатели степени с основанием (знак неравенства не изменится, так как ):
Последнее неравенство выполняется (см. задачу 69).
Итак, мы доказали, что
Доказательство левой части
Умножим обе части на :
Представим обе части неравенства как показатели степени с основанием (знак неравенства не поменяется, так как ):
Последнее неравенство выполняется (см. задачу 69).
Итак, мы доказали, что
Доказательство для рационального
Пусть — рациональное число:
Рассмотрим три варианта:
Из задачи 69 известно, что
а значит и
Возьмем корень -ой степени из обеих частей:
Возведем обе части в степень :
Для выражения слева от знака неравенства воспользуемся неравенством Бернулли (см. задачу 7):
Раз , то
Так как — целое число меньше , то
Прибавим к обеим частям неравенства :
В то же время мы знаем, что даже при отрицательном будет строго больше нуля, так как , где .
Поэтому
Доказательство для иррационального
Нам нужно доказать, что
Вычтем из обеих частей и далее будем рассматривать именно полученное неравенство:
Так как — иррациональное число, то его порождает сечение на множестве рациональных чисел.
Так как у нижнего класса не наибольшего рационального числа, то в этом классе можно выделить возрастающую последовательность рациональных чисел . В классе можно выделить убывающую последовательность рациональных чисел . Итак,
Причем
Рассмотрим левую часть неравенства :
Представим обе части неравенства в виде показателей степени с основанием :
Теперь рассмотрим вторую часть неравенства :
Умножим обе части неравенства на :
Прибавим к обеим сторонам число :
Но выше мы уже показали, что , поэтому