Демидович
77

Пользуясь теоремой о существовании предела монотонной и ограниченной последовательности, доказать сходимость следующих последовательностей:

, где — целые неотрицательные числа, не превышающие , начиная с .

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Указание

Монотонность

Докажите, что .

Ограничение сверху

Воспользуйтесь тем, что

Воспользуйтесь формулой суммы членов геометрической прогрессии, в которой первый элемент равен , а знаменатель равен .

Решение

Монотонность

Покажем, что — возрастающая последовательность:

Последнее неравенство выполняется, так как числитель и знаменатель — положительные числа.

Значит, — возрастающая последовательность.

Ограничение сверху

Еще раз рассмотрим -ый член последовательности:

Во всех дробях вида

, по условию не превышает , поэтому каждую такую дробь можно ограничить сверху:

Применим это ограничение ко всем подобным дробям в и получаем, что

Замечаем, что в скобках находится сумма членов геометрической прогрессии, в которой первый элемент равен , а знаменатель равен . Воспользуемся формулой суммы членов геометрической прогрессии:

Возвращаемся к неравенству с :

Замечаем, что скобка в конце лишь уменьшает дробь , поэтому заменяем эту скобку на

Итак, мы получили не зависящую от константу, которая больше любого :

Значит, ограничена сверху.


Мы показали, что возрастает и ограничена сверху. Значит, сходится.

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!