Задача 77 — Демидович

$x_{n} = p_{0} + \frac{p _{1}}{10} + \dots + \frac{p _{n}}{1 0 ^{n}} (n = 1, 2, \dots)$ , где $p_{i} (i = 0, 1, 2, \dots)$ — целые неотрицательные числа, не превышающие $9$ , начиная с $p_{1}$ .

Петр Радько

Указание

Монотонность

Докажите, что $x_{n + 1} > x_{n}$ .

Ограничение сверху

Воспользуйтесь тем, что

$\frac{p _{k}}{1 0 ^{k}} < \frac{10}{1 0 ^{k}} = \frac{1}{1 0 ^{k - 1}}$

Воспользуйтесь формулой суммы $n$ членов геометрической прогрессии, в которой первый элемент равен $1$ , а знаменатель равен $\frac{1}{10}$ .

Решение

Монотонность

Покажем, что $x_{n}$ — возрастающая последовательность:

$x_{n + 1} > x_{n}$

$p_{0} + \frac{p _{1}}{10} + \dots + \frac{p _{n}}{1 0 ^{n}} + \frac{p _{n + 1}}{1 0 ^{n + 1}} > p_{0} + \frac{p _{1}}{10} + \dots + \frac{p _{n}}{1 0 ^{n}}$

$\frac{p _{n + 1}}{1 0 ^{n + 1}} > 0$

Последнее неравенство выполняется, так как числитель и знаменатель — положительные числа.

Значит, $x_{n}$ — возрастающая последовательность.

Ограничение сверху

Еще раз рассмотрим $n$ -ый член последовательности:

$x_{n} = p_{0} + \frac{p _{1}}{10} + \dots + \frac{p _{n}}{1 0 ^{n}}$

Во всех дробях вида

$\frac{p _{k}}{1 0 ^{k}}$

$p_{k}$ , по условию не превышает $10$ , поэтому каждую такую дробь можно ограничить сверху:

$\frac{p _{k}}{1 0 ^{k}} < \frac{10}{1 0 ^{k}} = \frac{1}{1 0 ^{k - 1}}$

Применим это ограничение ко всем подобным дробям в $x_{n}$ и получаем, что

$x_{n} < p_{0} + (1 + \frac{1}{10} + \dots + \frac{1}{1 0 ^{n - 1}})$

Замечаем, что в скобках находится сумма $n$ членов геометрической прогрессии, в которой первый элемент равен $1$ , а знаменатель равен $\frac{1}{10}$ . Воспользуемся формулой суммы членов геометрической прогрессии:

$(1 + \frac{1}{10} + \dots + \frac{1}{1 0 ^{n - 1}}) = \frac{1 \cdot ( \frac{1}{1 0 ^{n}} - 1 )}{\frac{1}{10} - 1} = \frac{10}{9} (1 - \frac{1}{1 0 ^{n}})$

Возвращаемся к неравенству с $x_{n}$ :

$x_{n} < p_{0} + \frac{10}{9} (1 - \frac{1}{1 0 ^{n}})$

Замечаем, что скобка в конце лишь уменьшает дробь $\frac{10}{9}$ , поэтому заменяем эту скобку на $1$

$x_{n} < p_{0} + \frac{10}{9} (1 - \frac{1}{1 0 ^{n}}) < p_{0} + \frac{10}{9}$

Итак, мы получили не зависящую от $n$ константу, которая больше любого $x_{n}$ :

$x_{n} < p_{0} + \frac{10}{9}$

Значит, $x_{n}$ ограничена сверху.

Мы показали, что $x_{n}$ возрастает и ограничена сверху. Значит, $x_{n}$ сходится.

$■$

76 78