Ничего не нашлось!
Попробуйте переформулировать запрос.
Вы можете предложить добавить решение/материал.
Свойства подпоследовательностей

Содержимое задачи.

К решению
Задача 77
Нормальная
Пользуясь теоремой о существовании предела монотонной и ограниченной последовательности, доказать сходимость следующих последовательностей:

, где — целые неотрицательные числа, не превышающие , начиная с .

Указание

Монотонность

Докажите, что .

Ограничение сверху

Воспользуйтесь тем, что

Воспользуйтесь формулой суммы членов геометрической прогрессии, в которой первый элемент равен , а знаменатель равен .

Решение

Монотонность

Покажем, что — возрастающая последовательность:

Последнее неравенство выполняется, так как числитель и знаменатель — положительные числа.

Значит, — возрастающая последовательность.

Ограничение сверху

Еще раз рассмотрим -ый член последовательности:

Во всех дробях вида

, по условию не превышает , поэтому каждую такую дробь можно ограничить сверху:

Применим это ограничение ко всем подобным дробям в и получаем, что

Замечаем, что в скобках находится сумма членов геометрической прогрессии, в которой первый элемент равен , а знаменатель равен . Воспользуемся формулой суммы членов геометрической прогрессии:

Возвращаемся к неравенству с :

Замечаем, что скобка в конце лишь уменьшает дробь , поэтому заменяем эту скобку на

Итак, мы получили не зависящую от константу, которая больше любого :

Значит, ограничена сверху.


Мы показали, что возрастает и ограничена сверху. Значит, сходится.