Задача 79 — Демидович

Демидович

Ничего не нашлось!

Попробуйте переформулировать запрос.

Вы можете предложить добавить решение/материал.

Свойства подпоследовательностей

Содержимое задачи.

К решению

Откройте "Открытую Математику"!

Понятная теория, конспекты и задачник в одном флаконе!

Заглянуть

Посмотреть все темы!

I§2Признак Вейерштрасса

└─

└─

└─

I. Введение в анализ

└─

§2. Теория последовательностей

└─

Признак Вейерштрасса

└─

Задача 79

Задача 79

Нормальная

Пользуясь теоремой о существовании предела монотонной и ограниченной последовательности, доказать сходимость следующих последовательностей:

$x_{n} = (1 - \frac{1}{2}) (1 - \frac{1}{4}) \dots (1 - \frac{1}{2 ^{n}})$

1

Петр Радько

Указание

Монотонность

Докажите, что $x_{n}$ убывает, показав, что $x_{n + 1} < x_{n}$ .

Решение

Монотонность

Покажем, что $x_{n}$ — убывающая последовательность:

$x_{n + 1} < x_{n}$

$(1 - \frac{1}{2}) \dots (1 - \frac{1}{2 ^{n}}) (1 - \frac{1}{2 ^{n + 1}}) < (1 - \frac{1}{2}) \dots (1 - \frac{1}{2 ^{n}})$

$1 - \frac{1}{2 ^{n + 1}} < 1$

$- \frac{1}{2 ^{n + 1}} < 0$

Это неравенство всегда верно, так как слева отрицательное число, а справа $0$ .

Значит $x_{n}$ — убывающая последовательность.

Ограничение снизу

Покажем, что любая скобка в произведении больше нуля:

$1 - \frac{1}{2 ^{n}} > 0$

$2^{n} > 1$

Это верное неравенство, так как даже при $n = 1$ получаем $2 > 1$ .

Итак, любая скобка больше $0$ , а произвольный член последовательности $x_{n}$ представляет собой произведение этих скобок, то есть произведение положительных чисел.

$x_{n} = (1 - \frac{1}{2}) (1 - \frac{1}{4}) \dots (1 - \frac{1}{2 ^{n}}) > 0$

Значит, $x_{n}$ ограничена снизу $0$ .

Мы показали, что $x_{n}$ убывает и ограничена снизу. Значит, $x_{n}$ сходится.

$■$