Монотонность

Покажем, что $x_n$ — убывающая последовательность:

$$x_{n+1}<x_n$$

$$\left(1-\frac{1}{2}\right)\dots \left(1-\frac{1}{2^n}\right)\left(1-\frac{1}{2^{n+1}}\right)<\left(1-\frac{1}{2}\right)\dots \left(1-\frac{1}{2^n}\right)$$

$$1-\frac{1}{2^{n+1}}<1$$

$$-\frac{1}{2^{n+1}}<0$$

Это неравенство всегда верно, так как слева отрицательное число, а справа $0$.

Значит $x_n$ — убывающая последовательность.

Ограничение снизу

Покажем, что любая скобка в произведении больше нуля:

$$1-\frac{1}{2^n}>0$$

$$2^n>1$$

Это верное неравенство, так как даже при $n=1$ получаем $2>1$.

Итак, любая скобка больше $0$, а произвольный член последовательности $x_n$ представляет собой произведение этих скобок, то есть произведение положительных чисел.

$$x_n=\left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{4}\right)\dots \left(1-\frac{1}{2^n}\right)>0$$

Значит, $x_n$ ограничена снизу $0$.

Мы показали, что $x_n$ убывает и ограничена снизу. Значит, $x_n$ сходится.

$■$