Пользуясь теоремой о существовании предела монотонной и ограниченной последовательности, доказать сходимость следующих последовательностей:
79
Указание
Монотонность
Докажите, что убывает, показав, что .
Решение
Монотонность
Покажем, что — убывающая последовательность:
Это неравенство всегда верно, так как слева отрицательное число, а справа .
Значит — убывающая последовательность.
Ограничение снизу
Покажем, что любая скобка в произведении больше нуля:
Это верное неравенство, так как даже при получаем .
Итак, любая скобка больше , а произвольный член последовательности представляет собой произведение этих скобок, то есть произведение положительных чисел.
Значит, ограничена снизу .
Мы показали, что убывает и ограничена снизу. Значит, сходится.
Не разобрались?
СпроситьВсе поняли?
Поддержать