Демидович
79

Пользуясь теоремой о существовании предела монотонной и ограниченной последовательности, доказать сходимость следующих последовательностей:

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Указание

Монотонность

Докажите, что убывает, показав, что .

Решение

Монотонность

Покажем, что — убывающая последовательность:

Это неравенство всегда верно, так как слева отрицательное число, а справа .

Значит — убывающая последовательность.

Ограничение снизу

Покажем, что любая скобка в произведении больше нуля:

Это верное неравенство, так как даже при получаем .

Итак, любая скобка больше , а произвольный член последовательности представляет собой произведение этих скобок, то есть произведение положительных чисел.

Значит, ограничена снизу .


Мы показали, что убывает и ограничена снизу. Значит, сходится.

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!