Гармонический ряд

Доказать, что последовательность

$$x_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots +\frac{1}{n}-\ln n(n=1,2,\dots )$$

сходится.

Таким образом, имеет место формула

$$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots +\frac{1}{n}=C+\ln n+{\epsilon }_n,$$

где $C=0.577216\dots$ — так называемая постоянная Эйлера и ${\epsilon }_n\to 0$ при $n\to \infty$.

Найти

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\dots +\frac{1}{2n}\right)$$