Доказательство сходимости

Докажем, что последовательность $x_n$ фундаментальная, то есть

$$\forall \epsilon >0\exists N=N(\epsilon )\forall n>N,p>0:|x_{n+p}-x_n|<\epsilon$$

Рассмотрим неравенство в конце:

$$|x_{n+p}-x_n|<\epsilon$$

$$\left|1+\dots +\frac{1}{n+p}-\ln (n+p)-\left(1+\dots +\frac{1}{n}-\ln n\right)\right|<\epsilon$$

$$\left|\frac{1}{n+p}-\left(\ln (n+p)-\ln n\right)\right|<\epsilon$$

Воспользуемся свойством модулей и усилим неравенство (см. прото-задачу П-ссылка):

$$\left|\frac{1}{n+p}-\left(\ln (n+p)-\ln n\right)\right|\le \left|\frac{1}{n+p}\right|+\left|\ln (n+p)-\ln n\right|<\epsilon$$

$$\frac{1}{n+p}+\left|\ln (n+p)-\ln n\right|<\epsilon$$

В прото-задаче П-ссылка мы доказали, что

$$\ln (n+1)-\ln n<\frac{1}{n}$$

Поэтому запишем так:

$$\begin{gathered} \ln (n+p)-\ln n= \\ \underset{<\frac{1}{n}}{\underbrace{\ln (n+1)-\ln n}}+\underset{<\frac{1}{n+1}}{\underbrace{\ln (n+2)-\ln (n+1)}}+\dots +\underset{<\frac{1}{n+p-1}}{\underbrace{\ln (n+p)-\ln (n+p-1)}} \end{gathered}$$

Итак:

$$\ln (n+p)-\ln <\underset{p\text{ слагаемых}}{\underbrace{\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+\dots +\frac{1}{n+p-1}}}$$

Мы можем увеличить кажду дробь справа, уменьшив ее знаменатель до $n$:

$$\ln (n+p)-\ln <\frac{1}{n}+\dots \frac{1}{n+p-1}\le \frac{1}{n}+\frac{1}{n}+\dots$$

$$\ln (n+p)-\ln <\underset{p\text{ слагаемых}}{\underbrace{\frac{1}{n}+\frac{1}{n}+\dots }}$$

$$\ln (n+p)-\ln <\frac{p}{n}$$

Возвращаемся к нашему неравенству с $\epsilon$:

$$\frac{1}{n+p}+\underset{<\frac{p}{n}}{\underbrace{\left|\ln (n+p)-\ln n\right|}}<\epsilon$$

$$\frac{1}{n+p}+\left|\ln (n+p)-\ln n\right|\le \frac{1}{n+p}+\frac{p}{n}<\epsilon$$

$$\frac{1}{n+p}+\frac{p}{n}=\frac{n+p}{(n+p)n}=\frac{1}{n}<\epsilon$$

$$\frac{1}{n}<\epsilon$$

Откуда

$$n>\frac{1}{\epsilon }$$

Итак по определению фундаментальной последовательности, для любого $\epsilon >0$ нам достаточно взять $N$ по следующей формуле:

$$N(\epsilon )=\lceil \frac{1}{\epsilon }\rceil$$

Тогда, для любого $n>N$ и $p>0$ будет выполняться

$$n\ge N+1>N=\lceil \frac{1}{\epsilon }\rceil \ge \frac{1}{\epsilon }$$

$$n>\frac{1}{\epsilon }$$

А значит и

$$|x_{n+p}-x_n|<\epsilon$$

Итак, мы доказали, что $x_n$ — фундаментальная последовательность. Согласно критерию Коши любая фундаментальная последовательность сходится. Значит и $x_n$ тоже сходится:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=C$$

Вывод формулы

Рассмотрим последовательность ${\epsilon }_n=x_n-C$. Найдем ее предел:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{\epsilon }_n=\underset{n\to \infty }{\lim }(x_n-C)=\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n-\underset{n\to \infty }{\lim }C=C-C=0$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{\epsilon }_n=0$$

Рассмотрим теперь произвольный член $n$ последовательности ${\epsilon }_n$:

$${\epsilon }_n=x_n-C$$

$$x_n=C+{\epsilon }_n$$

Распишем $x_n$:

$$1+\frac{1}{2}+\dots +\frac{1}{n}-\ln n=C+{\epsilon }_n$$

$$1+\frac{1}{2}+\dots +\frac{1}{n}=C+\ln n+{\epsilon }_n$$

Итак, мы получили формулу из условия. Причем ${\epsilon }_n\to 0$ при $n\to \infty$, как мы показали выше.