Связь бесконечно малых и бесконечно больших

Причем если существует окрестность точки $a$ , в каждой точке которой функция $f (x)$ положительна (отрицательна), то вместо $\infty$ можно говорить о $+ \infty$ ( $- \infty$ ).

Замечание: если речь идет об одностороннем пределе, то ненулевая окрестность тоже должна быть односторонней «с той же стороны».

Доказательство

По условию у нас есть какая-то окрестность точки $a$ , в которой $f (x)$ не равна $0$ . Исключим саму эту точку $a$ из этой окрестности и обозначим полученную окрестность за $\overset{˚}{O} (a)$ .

Также по условию имеем, что

$x \to a lim f (x) = 0$

Распишем по определению:

$\forall ε > 0 \exists \overset{˚}{U} (a) : (\forall x \in \overset{˚}{U} (a) \Rightarrow ∣ f (x) ∣ < ε)$

Пусть нам дано какое-то число $E > 0$ . Тогда, для числа $\frac{1}{E}$ , по выполняющемуся определению выше, найдется окрестность $\overset{˚}{U} (a)$ , такая, что

$\forall x \in \overset{˚}{U} (a) \Rightarrow ∣ f (x) ∣ < \frac{1}{E}$

Введем в рассмотрение новую окрестность:

$\overset{˚}{Y} (a) = \overset{˚}{U} (a) \cap \overset{˚}{O} (a)$

Для любого $x$ в $\overset{˚}{Y} (a)$ выполняется два свойства:

$\forall x \in \overset{˚}{Y} (a) \Rightarrow ⎩ ⎨ ⎧ ∣ f (x) ∣ < \frac{1}{E} f (x) \neq = 0$

Раз в $\overset{˚}{Y} (a)$ функция не равна $0$ , мы можем преобразовать первое неравенство из фигурной скобки выше:

$∣ f (x) ∣ < \frac{1}{E} \frac{1}{∣ f ( x ) ∣} > E ∣ ∣ \frac{1}{f ( x )} ∣ ∣ > E$

Объединяя все шаги вместе получаем, что какую границу $E > 0$ нам не дадут, мы, через данный по условию предел и ненулевую окрестность, всегда найдем окрестность $\overset{˚}{Y} (a)$ , такую, что для любого $x$ из этой окрестности значения функции $\frac{1}{f ( x )}$ по модулю будут превышать $E$ :

$\forall E > 0 \exists \overset{˚}{Y} (a) = \overset{˚}{U} (a) \cap \overset{˚}{O} (a) : (\forall x \in \overset{˚}{Y} \Rightarrow ∣ ∣ \frac{1}{f ( x )} ∣ ∣ > E)$

Это по определению означает, что

$x \to a lim \frac{1}{f ( x )} = \infty$

$■$

Если же существует проколотая окрестность $\overset{˚}{+} (a)$ точки $a$ , в которой $f (x)$ всегда положительная, то в доказательстве выше можно брать $\overset{˚}{Y} (a)$ следующим образом:

$\overset{˚}{Y} (a) = \overset{˚}{U} (a) \cap \overset{˚}{O} (a) \cap \overset{˚}{+} (a)$

Тогда от знака модуля в импликации определения предела можно будет избавиться, что по определению будет означать стремление к $+ \infty$ (или к $- \infty$ ).

б.б.

\Rightarrow

б.м.

$x \to a lim f (x) = \infty \Rightarrow x \to a lim \frac{1}{f ( x )} = 0$

Доказательство

По условию выполняется

$x \to a lim f (x) = \infty$

По определению это означает, что

$\forall E > 0 \exists \overset{˚}{U} (a) : (\forall x \in \overset{˚}{U} (a) \Rightarrow ∣ f (x) ∣ > E)$

Пусть нам дано какое-то число $ε > 0$ . Тогда, для числа $\frac{1}{ε}$ , по выполняющемуся определению выше, найдется окрестность $\overset{˚}{U} (a)$ , такая, что

$\forall x \in \overset{˚}{U} (a) \Rightarrow ∣ f (x) ∣ > \frac{1}{ε}$

Неравенство в конце можно преобразовать:

$∣ f (x) ∣ > \frac{1}{ε} \frac{1}{∣ f ( x ) ∣} = ∣ ∣ \frac{1}{f ( x )} ∣ ∣ < ε$

$∣ ∣ \frac{1}{f ( x )} ∣ ∣ < ε$

Деления на ноль у нас не возникет, ведь изначально $∣ f (x) ∣ > \frac{1}{ε} > 0$ .

Объединяя все шаги вместе получаем, что какое число $ε > 0$ нам не дадут, мы, через данный по условию предел, всегда получим окрестность $\overset{˚}{U} (a)$ , такую, что для любого $x$ из этой окрестности значения функции $\frac{1}{f ( x )}$ по модулю будут меньше $ε$ :

$\forall ε > 0 \exists \overset{˚}{U} (a) : (\forall x \in \overset{˚}{U} (a) \Rightarrow ∣ ∣ \frac{1}{f ( x )} ∣ ∣ < ε)$

Это по определению означает, что

$x \to a lim$

"vlist-t vlist-t2">f(x)1=0

$■$

Зависимые задачи

410 455 468 470 506

Связи в справке

Используется в

Элементарные пределы

Пределы функций, к которым сводятся множество задач.