Ничего не нашлось!
Попробуйте переформулировать запрос.
Вы можете предложить добавить решение/материал.
Свойства подпоследовательностей

Содержимое задачи.

К решению
Т

Связь бесконечно малых и бесконечно больших

Переход из бесконечно малых последовательностей в бесконечно большие и наоборот.
б.м. б.б.

Пусть существует некоторая окрестность точки (конечной или бесконечной), в которой функция не равна . Тогда выполняется:

Причем если существует окрестность точки , в каждой точке которой функция положительна (отрицательна), то вместо можно говорить о ().

Замечание: если речь идет об одностороннем пределе, то ненулевая окрестность тоже должна быть односторонней «с той же стороны».

Доказательство

По условию у нас есть какая-то окрестность точки , в которой не равна . Исключим саму эту точку из этой окрестности и обозначим полученную окрестность за .

Также по условию имеем, что

Распишем по определению:

Пусть нам дано какое-то число . Тогда, для числа , по выполняющемуся определению выше, найдется окрестность , такая, что

Введем в рассмотрение новую окрестность:

Для любого в выполняется два свойства:

Раз в функция не равна , мы можем преобразовать первое неравенство из фигурной скобки выше:

Объединяя все шаги вместе получаем, что какую границу нам не дадут, мы, через данный по условию предел и ненулевую окрестность, всегда найдем окрестность , такую, что для любого из этой окрестности значения функции по модулю будут превышать :

Это по определению означает, что

Если же существует проколотая окрестность точки , в которой всегда положительная, то в доказательстве выше можно брать следующим образом:

Тогда от знака модуля в импликации определения предела можно будет избавиться, что по определению будет означать стремление к (или к ).

б.б. б.м.

Доказательство

По условию выполняется

По определению это означает, что

Пусть нам дано какое-то число . Тогда, для числа , по выполняющемуся определению выше, найдется окрестность , такая, что

Неравенство в конце можно преобразовать:

Деления на ноль у нас не возникет, ведь изначально .

Объединяя все шаги вместе получаем, что какое число нам не дадут, мы, через данный по условию предел, всегда получим окрестность , такую, что для любого из этой окрестности значения функции по модулю будут меньше :

Это по определению означает, что

Зависимые задачи