Свойства модуля — Демидович

Откройте "Открытую Математику"!

Понятная теория, конспекты и задачник в одном флаконе!

Заглянуть

Посмотреть все темы!

ВышматПрото-задачиОбщее

└─

└─

└─

└─

└─

└─

Самые полезные и часто требующиеся свойства модуля.

Теорема

$∣ f ∣ \geq f$

Доказательство

Если $f \geq 0$ , то, по определению модуля, $∣ f ∣ = f$ , а значит получаем верное неравенство:

$f \geq f$

Если $f < 0$ , неравенство

$∣ f ∣ \geq f$

очевидно выполняется, так как слева находится положительное число (по определению модуля), а справа отрицательное.

$■$

Теорема

$∣ f ∣^{2} = f^{2}$

Доказательство

Если $f \geq 0$ , то $∣ f ∣ = f$ и получаем очевидное равенство:

$f^{2} = f^{2}$

Если $f < 0$ , то $∣ f ∣ = - f$ и получаем

$(- f)^{2} = f^{2}$

$(- 1)^{2} f^{2} = f^{2}$

$f^{2} = f^{2}$

n class="katex">

■

Теорема

$f^{2} = ∣ f ∣$

Доказательство

По уже доказанному свойству 2 имеем, что

$f^{2} = ∣ f ∣^{2}$

Поэтому

$f^{2} = ∣ f ∣^{2} = ∣ f ∣$

an class="base">■

Теорема

$∣ f \cdot g ∣ = ∣ f ∣∣ g ∣$

Следствие:

$∣ f ∣^{n} = ∣ f^{n} ∣$

Доказательство

Рассмотрим все 4 возможных варианта:

$f \geq 0$ и $g \geq 0$
$f \geq 0$ и $g < 0$
$f < 0$ и $g \geq 0$
$f < 0$ и $g < 0$

В варианте 1:

$∣ f ∣ = f, ∣ g ∣ = g, ∣ f \cdot g ∣ = f g$

$f g = f g$

В варианте 2:

$∣ f ∣ = f, ∣ g ∣ = - g, ∣ f \cdot g ∣ = - f g$

$- f g = - f g$

То же самое и в варианте 3.

В варианте 4:

$∣ f ∣ = - f, ∣ g ∣ = - g, ∣ f \cdot g ∣ = f g$

$f g = (- f) (- g) = f g$

$f g = f g$

Итак, равенство выполняется во всех четырех возможных случаях.

$■$

Доказательство следствия

Распишем по определению, чему равно $∣ f ∣^{n}$ и для каждых двух множителей применяем свойство 4:

$∣ f ∣^{n} = ∣ f ∣∣ f ∣∣ f ∣ \dots = ∣ f \cdot f \cdot f \dots ∣ = ∣ f^{n} ∣$

$∣ f ∣^{n} = ∣ f^{n} ∣$

$■$

Теорема

$∣ f - g ∣ = ∣ g - f ∣$

Доказательство

Вынесем $- 1$ внутри $∣ f - g ∣$ :

$∣ f - g ∣ = ∣ (- 1) (g - f) ∣$

По уже доказанному свойству 4 имеем, что

$∣ f - g ∣ = ∣ (- 1) (g - f) ∣ = ∣ - 1∣∣ g - f ∣ = ∣ g - f ∣$

$∣ f - g ∣ = ∣ g - f ∣$

"katex">

■

Теорема

$∣ f ∣ - ∣ g ∣ \leq ∣ f \pm g ∣ \leq ∣ f ∣ + ∣ g ∣$

Доказательство

Сначала докажем, что

$∣ f ∣ - ∣ g ∣ \leq ∣ f \pm g ∣$

Если $∣ f ∣ - ∣ g ∣$ — отрицательное число, то неравенство выполняется, так как справа по определению модуля находится неотрицательное число.

Если $∣ f ∣ - ∣ g ∣$ — неотрицательное число, то возводим обе части неравенства в квадрат:

$(∣ f ∣ - ∣ g ∣)^{2} \leq ∣ f \pm g ∣^{2}$

$f^{2} - 2∣ f ∣∣ g ∣ + g^{2} \leq f^{2} \pm 2 f g + g^{2}$

$- 2∣ f ∣∣ g ∣ \leq \pm 2 f g$

$- ∣ f g ∣ \leq \pm f g$

$- ∣ f g ∣ \leq f g - ∣ f g ∣ \leq - f g$

Если $f g \geq 0$ , то $∣ f g ∣ = f g$ , поэтому получаем верные неравенства:

$- f g \leq f g - f g \leq - f g$ $- 1 \leq 1 - 1 \leq - 1$

Если $f g < 0$ , то $∣ f g ∣ = - f g$ , поэтому получаем

$f g \leq f g f g \leq - f g$

Правое неравенство выполняется, так как слева строго отрицательное число, а справа строго положительное.

Итак, мы доказали, что

$∣ f ∣ - ∣ g ∣ \leq ∣ f \pm g ∣$

Теперь докажем, что

$∣ f \pm g ∣ \leq ∣ f ∣ + ∣ g ∣$

Возводим обе части неравенства в квадрат:

$∣ f \pm g ∣^{2} \leq (∣ f ∣ + ∣ g ∣)^{2}$

$f^{2} \pm 2 f g + g^{2} \leq f^{2} + 2∣ f ∣∣ g ∣ + g^{2}$

$\pm 2 f g \leq 2∣ f ∣ g ∣$

$\pm f g \leq ∣ f g ∣$

Домножим это неравенство на $- 1$ получаем уже доказанное немного выше неравенство:

$- ∣ f g ∣ \leq \mp f g$

$■$

Зависимые задачи

10 21 26 28 30 42 43 61 62 72 82 136 138 143 146 217 225 383 401 408

Связи в справке

Используется в

Упрощение модулей в неравенствах

Очень полезные соотношения для быстрого решения неравенств с модулями.

Операции с бесконечно малыми и большими

Основные арифметические между ограниченной и бесконечно малой (большой) функциями.

Предел степенной функции

Доказательство значений предела степенной функции при различных стремлениях аргумента.

Свойства функций с конечным пределом

Наиболее полезные свойства функций, которые имеют конечный предел при произвольном стремлении аргумента.

Предел геометрической прогрессии

Сходимость к нулю убывающих и к бесконечности возрастающих геометрических прогрессий.

Ограниченность в арифметических операциях

Сохранение ограниченности при сумме, разности и произведении последовательностей.