Пусть предел функции $f(x)$ при стремлении $x$ к точке $a$ (как конечной, так и бесконечной) равен $+\infty$ или $-\infty$. Тогда эта же функция $f(x)$ имеет предел при том же стремлении $x$, равный $\infty$. Обратное утверждение не всегда выполняется!

$$[\begin{array}{l}\underset{x\to a}{\lim }f(x)=+\infty \\ \underset{x\to a}{\lim }f(x)=-\infty \end{array}\Rightarrow \underset{x\to a}{\lim }f(x)=\infty$$

# Бесконечность как значение

Докажем для $+\infty$. Доказательство случая с $-\infty$ производится аналогично. Итак, пусть выполняется следующее равенство

$$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=+\infty$$

По определению это означает, что

$$\forall E>0\exists \mathring{U}(a):\left(x\in \mathring{U}(a)\Rightarrow f(x)>E\right)$$

Нас интересует неравенство в конце:

$$f(x)>E$$

Так как $E>0$, то и $f(x)>0$. Значит, по определению модуля: $f(x)=|f(x)|$:

$$|f(x)|>E$$

Подставляя это неравенство с модулем вместо старой версии, получаем, что

$$\forall E>0\exists \mathring{U}(a):\left(x\in \mathring{U}(a)\Rightarrow |f(x)|>E\right)$$

Это по определению означает, что

$$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=\infty$$

$■$

Теперь докажем, что обратное утверждение не всегда выполняется. Для этого рассмотрим следующий пример:

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x}=\infty$$

редположим, что из равенства выше следует, что выполняется

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x}=+\infty$$

По определению это означает, что

$$\forall \epsilon >0\exists \delta =\delta (\epsilon )>0:\left(0<|x|<\delta \Rightarrow f(x)>E\right)$$

Но какое бы положительное $E$ мы не взяли, взяв любой отрицательный $x$ из промежутка $(-\delta ,0)$ получим, что отрицательное число $\frac{1}{x}>E$, чего не может быть. Противоречие. Значит, функция $\frac{1}{x}$ при стремлении к $0$ не стремится к $+\infty$.

Аналогичным способом можно показать, что $-\infty$ также не является пределом этой функции при том же стремлении.

Итак, стремление $f(x)$ к $\infty$ совсем не всегда означает, что $f(x)\to +\infty$ или $f(x)\to -\infty$. Иногда функция может просто стремиться к $\infty$ «напрямую».

$■$

Стремление к бесконечности $\Leftarrow$

Итак, пусть выполняется равенство

$$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=b$$

Это по определению означает, что

$$\forall V(b)\exists D>0:\left(|x|>D\Rightarrow f(x)\in V(b)\right)$$

Из определения видим, что импликация выполняется для каждого $x$, для которого выполняется $|x|>D$. В частности это означает, что неравенство выполняется для всех положительных $x$, таких что $|x|>D$. Но раз $x$ положительный, то от знака модуля можно избавиться. Итак, выполняется следующее:

$$\forall V(b)\exists D>0:\left(x>D\Rightarrow f(x)\in V(b)\right)$$

А это по определению означает, что

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=b$$

Аналогично, неравенство $|x|>D$ выполняется для любых отрицательных $x$, то есть $x<-D$, что по определению означает, что

$$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=b$$

Итак, мы доказали, что

$$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=b\Rightarrow \{\begin{array}{l}\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=b\\ \underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=b\end{array}$$

$■$

Стремление к бесконечности $\Rightarrow$

Пусть предел функции $f(x)$ при стремлении $x$ к $+\infty$ и к $-\infty$ равен одному и тому же числу $b$. Распишем по определению оба случая:

$$\begin{gathered} \forall V(b)\exists D_1>0:\left(x>D\Rightarrow f(x)\in V(b)\right) \\ \forall V(b)\exists D_2>0:\left(x<-D\Rightarrow f(x)\in V(b)\right) \end{gathered}$$

Тогда введем следующее обозначение:

$$D=\max (D_1,D_2)$$

Тогда для любой окрестности $V(b)$ мы берем $D=\max (D_1,D_2)$. Это означает, что для любого $x>D$ или любого $x<-D$ будет выполняться $f(x)\in V(b)$. Но выполнение неравенств $x>D$ или $x<-D$ можно объединить в одно неравенство $|x|>D$ по порото-задаче П-ссылка. Итак:

$$\forall V(b)\exists D=\max (D_1,D_2):\left(|x|>D\Rightarrow f(x)\in V(b)\right)$$

Это по определению означает, что

$$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=b$$

Итак, мы доказали, что

$$\{\begin{array}{l}\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=b\\ \underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=b\end{array}\Rightarrow \underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=b$$

$■$