Задача 404 — Демидович

Откройте "Открытую Математику"!

Понятная теория, конспекты и задачник в одном флаконе!

Заглянуть

Посмотреть все темы!

I§5Определение предела функции в точке

└─

└─

└─

└─

└─

Определение предела функции в точке

└─

Задача 404

Нормальная

Сформулировать с помощью неравенств следующие утверждения и привести соответствующие примеры:

$а) x \to \infty lim f (x) = b; б) x \to - \infty lim f (x) = b; в) x \to + \infty lim f (x) = b$

Петр Радько

Указание

Запишите определение предела функции при стремлении аргумента к $\infty$ . Затем расшифруйте это определение для $- \infty$ и $+ \infty$ .

Решение

Пункт а)

$x \to \infty lim f (x) = b \Leftrightarrow \Leftrightarrow \forall ε > 0 \exists D = D (ε) > 0 : (∣ x ∣ > D \Rightarrow ∣ f (x) - b ∣ < ε)$

Пункт б)

$x \to - \infty lim f (x) = b \Leftrightarrow \Leftrightarrow \forall ε > 0 \exists D = D (ε) > 0 : (x < - D \Rightarrow ∣ f (x) - b ∣ < ε)$

Пункт в)

$x \to + \infty lim f (x) = b \Leftrightarrow \Leftrightarrow \forall ε > 0 \exists D = D (ε) > 0 : (x > D \Rightarrow ∣ f (x) - b ∣ < ε)$

Пример

Для всех трех пунктов подойдет обратная пропорциональность:

$x \to \infty lim \frac{1}{x} = 0$

Доказательство

Итак, нам дано произвольное $ε > 0$ . Нужно найти такое $D$ , чтобы выполнялась импликация:

$∣ x ∣ > D \Rightarrow ∣ ∣ \frac{1}{x} ∣ ∣ < ε$

Разберемся с неравенством справа:

$∣ ∣ \frac{1}{x} ∣ ∣ < ε \frac{1}{∣ x ∣} < ε ∣ x ∣ > \frac{1}{ε}$

Значим, мы можем просто принять за $D$ число $\frac{1}{ε}$ . Тогда, для таких $x$ , возвращаясь по цепочке преобразований обратно, получим, что $∣ ∣ \frac{1}{x} ∣ ∣ < ε$ . Это по определению означает, что

$x \to \infty lim \frac{1}{x} = 0$

$■$

Равенство $0$ предела этой же функции при стремлении $x$ к $- \infty$ и к $+ \infty$ следует по прото-задаче П-ссылка.

Зависимости

Отношения между бесконечностями

Связь

- \infty

+ \infty

с обычной

\infty

в значении предела, а также при стремлении к ним.

403 405