Упрощение модулей в неравенствах

Рассмотрим, каким может быть $f$:

$$f\ge 0\text{ или }f<0$$

Если $f\ge 0$, то $|f|=f$ и мы сразу получаем

$$f<g$$

Умножим обе части на $-1$:

$$-g<-f\le f\text{ т.к. }f\ge 0$$

$$-g<f$$

Итак, из $f\ge 0$ получаем цепное неравенство

$$-g<f<g$$

Если $f<0$, то $|f|=-f$ и мы получаем

$$-f<g$$

Умножаем обе части на $-1$:

$$-g<f$$

Так как $f<0$, то $-f>0$, поэтому

$$-g<f<-f<g$$

$$-g<f<g$$

Итак, вне зависимости от $f$ мы получаем цепное неравенство:

$$-g<f<g$$

Его можно перезаписать в виде

$$|f|<g\iff \{\begin{array}{l}f<g\\ f>-g\end{array}$$

$■$