Предельный переход в неравенстве

Доказывать будем от противного. Пусть

$$A>B$$

По условию известно, что

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=A$$

По определению предела это означает, что

$$\forall \epsilon >0\exists N=N(\epsilon )\forall n>N:|x_n-A|<\epsilon$$

Это означает, что для любого положительного $\epsilon$ найдется такое $N$, что для любого следующего за $N$ номера выполняется неравенство $|x_n-A|<\epsilon$.

Значит и для положительного числа $\frac{A-B}{2}$ найдется такое $N_x$, что для всех членов $x_n$ за ним будет выполняться неравенство:

$$|x_n-A|<\frac{A-B}{2}$$

Проводя аналогичные рассуждения для предела $y_n$, найдется $N_y$ такое, что для всех членов $y_n$ за ним будет выполняться неравенство

$$|y_n-B|<\frac{A-B}{2}$$

Выбираем максимальное из $N_x$ и $N_y$. Для такого максимального $N_{\max }$ будут одновременно выполняться два неравенства:

$$|x_n-A|<\frac{A-B}{2}$$

$$|y_n-B|<\frac{A-B}{2}$$

Сложим оба неравенства друг с другом:

$$|x_n-A|+|y_n-B|<A-B$$

Воспользовавшись свойствами модулей, усилим неравенство:

$$|y_n-x_n+(A-B)|\le |A-x_n|+|y_n-B|<A-B$$

$$|y_n-x_n+(A-B)|<A-B$$

азобьем это неравенство на два по прото-задаче П-ссылка:

$$|y_n-x_n+(A-B)|<A-B\iff \{\begin{array}{l}{y}_n-x_n+(A-B)<A-B\\ y_n-x_n+(A-B)>B-A\end{array}$$

Рассмотрим первое неравенство:

$$y_n-x_n+(A-B)<A-B$$

Вычтем из обеих частей $A-B$:

$$y_n-x_n<0$$

$$y_n<x_n$$

Но по условию $x_n\le y_n$. Итак, получаем два противоречащих друг другу неравенства:

$$x_n\le y_n{x}_n>y_n$$

Итак, мы предположили, что $A>B$ и получили противоречие. А значит верно исходное предположение, то есть

$$A\le B$$

$■$