В задании речь идет про ограниченность функций. Гипербола является одним из простейших примеров функций, которые уходят в бесконечность. Конкретно ее мы взяли из-за того, что она уходит в бесконечность при приближении к $x=0$, что сильно упрощает вычисления и рассуждения.

Д

Функция $\frac{1}{x}$ определена для всех вещественных чисел, кроме $0$. В интервале $(0,1)$ нет $0$, поэтому $\frac{1}{x}$ определена в каждой его точке.

$■$

сталось только доказать, что функция $\frac{1}{x}$ на интервале $(0,1)$ неограничена. Докажем от обратного. Пусть существует какая-то граница $M>0$ функции $\frac{1}{x}$ на интервале $(0,1)$, то есть:

$$\left|\frac{1}{x}\right|\le M$$

Можно убрать знаки модуля, так как рассматриваемые $x$ положительные:

$$\frac{1}{x}\le M$$

Если $M<1$, то получаем противоречие, ведь взяв, например $x=\frac{1}{2}$ получим $\frac{1}{x}=2$, что явно больше $M<1$. Значит, $M$ не может быть строго меньше $1$.

Пусть тогда $M\ge 1$. Но и в этом случае можно взять такой $x^{\prime }$:

$$x^{\prime }=\frac{1}{2M}$$

Этот $x^{\prime }$ точно лежит в интервале $(0,1)$, так как:

$$\begin{gathered} M\ge 1 \\ \frac{1}{M}\le 1 \\ 0<x^{\prime }=\frac{1}{2M}\le \frac{1}{2} \end{gathered}$$

Убедились, что $x^{\prime }$ лежит в интервале $(0,1)$. Найдем теперь значение функции от этого $x^{\prime }$:

$$f(x^{\prime })=\frac{1}{x^{\prime }}=\frac{1}{\frac{1}{2M}}=2M$$

Но раз $f(x)$ ограничена числом $M$, то и $f(x^{\prime })=2M$ ограничена $M$, то есть

$$\begin{gathered} 2M\le M \\ 2\le 1 \end{gathered}$$

Получили противоречие. Это означает, что никакое число $M$ не может являться границей функции $\frac{1}{x}$ на интервале $(0,1)$. Значит, эта функция неограничена.

Мы на конкретном примере доказали, что определенность и локальная ограниченность функции в каждой точке интервала не означает ограниченности функции на всем интервале.

Пункт б)

По условию нам известно, что функция определена и локально ограничена в каждой точке отрезка. Для удобства примем, что отрезок имеет вид $[a,b]$.

Нам нужно доказать, что $f(x)$ ограничена на всем отрезке $[a,b]$. Доказывать будем от противного. Пусть она неограничена на этом отрезке, то есть

$$\forall M>0\exists x\in [a,b]:|f(x)|>M$$

Если словами, то какую бы границу $M$ мы не взяли, всегда найдется такой хитрый $x$ из нашего отрезка, что $|f(x)|>M$. Воспользуемся этим фактом.

Пусть $M_1=1$. Для этой границы существует некоторый $x_1$, такой, что $|f(x_1)|>M_1$. Пусть теперь $M_2=2$. И для этой границы есть $x_2$, такой что $|f(x_2)|>M_2$.

Постоянно продолжая этот процесс, получаем обыкновенную числовую последовательность

$$x_1,x_2,\dots ,x_n,\dots$$

Исходя из способа построения, у нее есть следующее свойство:

$$|f(x_1)|>1,|f(x_2)|>2,\dots ,|f(x_n)|>n,\dots$$

Нас интересует то, что эта последовательность ограничена, ведь каждый ее член содержится в отрезке $[a,b]$.

$$a\le x_1,x_2,\dots ,x_n,\dots \le b$$

По задаче 125 мы знаем, что в любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Обозначим такую подпоследовательность за $x_{p_n}$, причем:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_{p_n}=c$$

Причем важно отметить, что точка $c\in [a,b]$. Это следует из прото-задачи П-ссылка.

о условию функция $f(x)$ локально ограничена в любой точке отрезка $[a,b]$. Это значит, что существует какие-то числа $E>0$ и $\delta >0$ такие, что

$$\forall x\in (c-\delta ,c+\delta ):|f(x)|\le E$$

Вспоминаем, что $c$ является пределом последовательности $x_{p_n}$, а это значит, что в любой окрестности $c$, в том числе и в рассматриваемой сейчас $\delta$-окрестности, имеется бесконечное число членов $x_{p_n}$. Получается, что мы можем найти такой номер $p_k$, который будет больше, чем $E$. Тогда, по свойству построенной выше последовательности:

$$|f(x_{p_k})|>p_k>E$$

Получается, что в $\delta$-окрестности точки $c$ (в которой $f(x)$ ограничена) мы всегда можем найти такой $x_{p_k}$, что $|f(x_{p_k})|$ будет превышать любую наперед заданную границу. Значит, $f(x)$ в этой окрестности не ограничена. Получили противоречие.

Итак, предположив, что функция $f(x)$ неограничена на отрезке $[a,b]$ мы получили противоречие, показав, что не выполняется критерий локальной ограниченности, который должен выполняться по условию.

Это означает, что $f(x)$ все же ограничена на всем отрезке $[a,b]$.